求四边形未知顶点坐标例析

☉江苏省盐城市高级职业学校初中部 汪荣跃

平行四边形是初中阶段非常重要的几何图形，探求平行四边形未知顶点坐标又是近几年中考的热点话题，备受命题者的青睐.但许多学生由于不得其法而一筹莫展.现以近年来的中考试题为例，介绍一些求平行四边形未知顶点坐标的方法，供大家参考.

一、寻找相等关系，建立方程模型

例1 如图1，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式.

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

解析：（1）由点 A（3，4）在直线 y=x+m上得4=3+m，则m=1.由于二次函数图像的顶点为C（1，0），因此其函数关系式可设为y=a（x-1）2，由点 A（3，4）在抛物线 y=a（x-1）2上得 4=a（3-1）2，则 a=1，所以二次函数关系式为 y=（x-1）2，即 y=x2-2x+1.

（2）设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE，则 yP=x+1，yE=x2-2x+1，所以 PE=h=yP-yE=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x.由于点 P 是线段 AB 上的动点，因此 0＜x＜3.

（3）因为 PE⊥x轴，DC⊥x轴，所以 PE∥DC.因而要使四边形DCEP是平行四边形，只需PE=DC.由xD=1得yD=xD+1=2，则DC=yD=2.根据 PE=DC，PE=-x2+3x，DC=2.可得-x2+3x=2，解得 x1=1，x2=2.当x=1时，PE与DC重合，不符合要求，故舍去；当x=2时，y=x+1=3，所以满足要求的点 P 坐标为（2，3）.

点评：在整个运动过程中，四边形DCEP始终保持着对边PE与DC的平行关系，但PE的长度却随着P点横坐标x的变化而变化.要使四……