初中数学动点最值问题的探讨

江苏省淮阴中学 朱翠英

最值问题是初中数学中一类综合性很强的问题，是初中数学教学中的一个重要组成部分，在整个初中数学的学习中都存在最值问题，这类试题也是近几年中考的热点问题之一，它主要考查学生对平时所学的内容综合运用，突出了对学生数学素质的考查.通过这类试题的教学，可以培养学生的探究能力和创新意识，培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助.

解这类题目要尽可能简便地建立坐标系，再写出各点坐标，设出动点坐标，或是运用数形结合思想，把代数式转化为几何图形，或是结合动点运动属性，分析图形特征，根据题目的条件写出关系式，最后求解.本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨.

一、出现一个动点的解题方法

这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长.

例1 如图1，已知L是一条乡村公路，A、B为公路一侧的两个村庄，为方便学生上学，准备在公路边上新建一所小学，如果是请你设计新学校的校址，你准备选在哪里可使学校两村庄到学校的距离和最小？

解析：作B关于L的对称点B′，有MB=MB，于是MA+MB=MA+MB′≥AB（当且仅当从运动到AB′和L的交点M′时等号成立），建在M′点符合条件.

图1

二、出现两个动点的解题方法

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变.用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解.

例2 如图2，河岸两侧有A、B两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能使两村村民来往路程最短？

图2

解析：设桥端两动点为M、N，那么N点随M点而动，MN等于河宽，且MN垂直于河岸.将B向上平移河宽长到B′，线段AB′与河北岸线的交点即为桥端M点位置.四边形BB′MN为平行四边形，B′M=BN，此时AM+BN=AM+B′M=AB′值最小.那么A、B两村来往最短路程为：AM+MN+NB=AB′+MN.

三、出现三个动点的解题方法

当题中出现三个动点时，在求解时应注意两点，（1）作定点关于动点所在直线的对称点.（2）同时要考虑点点、点线、线线之间的最短问题.

例3 如图3，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E，F，P分别为AB，BC，AC上动点，求PE+PF最小值.

解析：作E关于AC所直线的对称点E′，于是有PE+PF=PF+PE′≥E′F，又因为E在AB上运动，故当E′F和AD，BC垂直时，E0F最短，易求E0F=x+y=4.

图3

四、动点最值在求代数最值问题中的应用

在数学教学中，注重对学生数形结合思想的引导和启发，有助于学生在解决问题时从不同角度去思考和探索，从多角度去解决问题，对培养学生的转化能力也有很大的帮助.

解析：可以让学生思考直角三角形中直角边和斜边的边长关系，就能想到是以x、1为直角边的直角三角形斜边的长是以y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么这个问题就可转化成求两条线段和的最值问题.这种解决问题的思维方法只有在长期的训练中逐渐养成，是一个渐进的过程，不可操之过急.

图4

如图4，AB=4，P为AB上一动点. 设PA=x，PB=y.CA⊥AB，DB⊥AB，A、B为垂足，且CA=1，BD=2，则PC+PD=可知当点P，C，D在同一条直线上时，PC+PD最小.作CE垂直DB的延长线交点为E，所以，EC=4，ED=2+1=3，即：PC+PD=DC=，故最小值为5.

五、动点最值在圆中的运用

对于圆上有动点的几何最值问题，常需根据动点运动属性，分析图形特征，运用直径是圆中最大的弦或不等量公理求解.

例5 如图5，已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，四边形ABDC是内接半圆的梯形，试问：怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？

图5

解析：本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R.由于AB∥CD，必有AC=BD.

若设CD=2y，AC=x，那么只需求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.

总之，解决这一类动点最值问题，关键在于善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点，运用数形结合思想，这对于解决动点最值问题有着事半功倍的作用.