分式方程无解与增根之间的奥秘

☉河南省南阳市第二十九中学 郭 冲

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此.

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征：其一，它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解；其二，它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形：其一，原方程化去分母后的整式方程无解；其二，原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.现举例说明如下.

A.解为 x=2B.解为 x=4C.解为 x=3D.无解

解：方程两边都乘以（x-2），得 1-x+2（x-2）=-1②.

解这个方程，得x=2.

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.

所以原方程无解，这个题目应选D.

点评：显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2.而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根.本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，而原方程无解.

解：去分母后化为 x-1＝3-x+2（2+x）.

整理得 0x＝8.

因为此方程无解，所以原分式方程无解.

点评：此方……