例谈《高等代数》与《解析几何》的关联

宋元凤，李武明

（通化师范学院数学学院，吉林通化 134002）

《解析几何》与《高等代数》是不可分割的，《解析几何》是以《高等代数》的知识为主要研究工具的一门学科，没有《高等代数》这个主要工具，就没有《解析几何》这门学科;代数中讨论的很多对象是以几何为背景，又进一步推广出来的，尽管《高等代数》比较抽象，但是可以利用鲜明的几何背景使其更易于理解.

本文将从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系四个方面阐述《高等代数》与《解析几何》的密切关系.

1 行列式与向量关系

当n=3时，它的几何解释为:

把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标，设

即3级行列式的值恰好是平行六面体的体积，其中平行六面体的边为行列式的各行所形成的向量.

即因为 α2，α2，α3共面，所以 α2，α2，α3的混合积为0，这与上面3级行列式为0是一致的.

同理有 α3·（α2×α3）=0.

类似的，把行列式的列看作向量在直角坐标系下的坐标，也可得到类似的结论.

2 线性方程组与面面关系

2.1 齐次线性方程组与面面关系

设齐次线性方程组为

当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明.

当R（A）=3时方程组只有零解.从几何角度看，在空间直角坐标系下，方程组的解表示s个通过原点的平面只交于原点.

事实上，齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程.

设

平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0，

平面π2:a21x1+a22x2+a23x3=0，

……

平面πs:as1x1+as2x2+as3x3=0，则它们对应的法向量分别是

n2=（a21，a22，a23），…，ns=（as1，as2，as3），因为R（A）=3，所以其中三个法向量线性无关，不妨设n1，n2，n3线性无关，所以平面π1与平面π2相交于过原点的直线l，设l的方向向量为v，则n1⊥v，n2⊥v，所以v垂直于n1，n2所在的平面.因为n1，n2，n3线性无关，所以v不垂直于n3，即直线l不在平面π3上，所以平面 π1，π2，π3的交点只有原点，因为 π1，π2，…，πs都过原点，因此平面 π1，π2，…，πs的交点只有原点.

当R（A）=2＜3时，方程组的基础解系中解向量个数为1，设为η，方程组的全部解为kη，k为任意常数.

当R（A）=1＜3时，方程组的基础解系中解向量的个数为2，设为η1，η2方程组全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数.

从几何上看，因为R（A）=1，所以原方程组的所有方程都表示同一个平面，因而方程组的解向量都在平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0上，这与方程组的全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数是一致的，即所有解在η1，η2所确定的过原点的平面上.

2.2 非齐次线性方程组与面面关系

设非齐次线性方程组为

当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明.在文献［2］中作者已经阐述的很全面了，下面从另一个角度阐述.

事实上，非齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程.

设

当R（A）=R（珔A）=3 时，从几何上看，这s个平面只有一个交点γ0.

当R（A）=R（珔A）=2时，方程组的全部解为η0+kη，k为任意常数，其中η0为非齐次线性方程组的一个特解，η为它的导出组的一个基础解系.从几何上看，这s个平面相交于一条直线，我们知道它的导出组的解是一条过原点的直线，而这两条直线是互相平行的.即平面π1，π2，…πs的交线是过原点的直线l，而直线l沿着 η0平移就得到平面 ψ1，ψ2，…，ψs的交线.

当R（A）=R（珔A）=1时，方程组的全部解为η0+k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数，其中 η0为非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2为它的导出组的一个基础解系.从几何上看，这s个平面相交于一个平面，它的导出组的解是一个过原点的平面，而这两个平面是平行的.即平面 π1，π2，…，πs相交于过原点的平面π，而平面π沿着η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交点轨迹.

当R（A）≠R（珔A）时，方程组无解.从几何上看，易知，至少有两个平面是平行的，所以这s个平面无交点.

3 矩阵与二次曲线关系

在平面直角坐标系下，任何一个二元二次方程a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0都与一个二次曲线相对应，而为了刻画二次曲线图形，常常把二次曲线方程用矩阵来表示.即

这种二次曲线的矩阵表示它的意义是重大的，我们可以通过对二次曲线的矩阵做变换而得到二次曲线方程的标准形，从而来刻画二次曲线图形，且可以依据标准形对二次曲线进行分类.

4 矩阵与二次曲面关系

在空间直角坐标系下，任何一个三元二次方程

都与一个二次曲面相对应，而为了刻画二次曲面图形，常常把二次曲面方程用矩阵来表示.即

类似于二次曲线，这种二次曲面的矩阵表示也是非常重要的.

本文仅从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系这四个方面阐述《高等代数》与《解析几何》的相通性，其实《高等代数》与《解析几何》的相通性还有其它方面，有待继续探讨.

:

［1］王萼芳，石生明.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］姜景莲.浅谈高等代数教学中的几何解释［J］.南平师专学报，1998，17（4）:29－32.

［3］吕林根，许子道.解析几何［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］薛娜，马轶轩.高等代数与解析几何合并教学的几点体会［J］.科技咨讯，2007（19）:108.