Orlicz空间中广义Orlicz范数和Luxemburg范数的关系

段丽芬，庄彩彩

（通化师范学院数学学院，吉林通化 134002）

2006年，段丽芬和崔云安在Orlicz空间中引进了广义 Orlicz范数［1］，并证明了它与 Orlicz范数［2］和Luxemburg范数［3］等价.本文进一步就由N－函数生成的Orlicz空间中定义的广义Orlicz范数和Luxemburg范数的关系问题加以讨论，得到一个严格不等式和一个重要的等价命题.

1 预备知识

映射M:R→［0，∞）称为Orlicz函数是指:M是偶的、非负连续凸函数且当且仅当u=0时M（u）=0.满足

的Orlicz函数称为N－函数.

设M（u）、N（v）为一对互余的N－函数，（G，∑，μ）为一无原子测度空间，L0表示定义在G上的可测实函数全体.对任意x∈L0，我们称

为x（t）关于M的模.则Orlicz空间

关于Orlicz范数:

Luxemburg范数:

‖x‖M=inf{λ ＞ 0:ρM（x/λ） ≤1}，

以及广义Orlicz范数:

均成为Banach空间.

引理1［4］设M是任意N－函数，则泛函

是Orlicz空间L*M的一个范数，且与‖x‖M等价.引理2［5］对任何b≥a ＞ 0，集合

都为有界集的充要条件是M∈▽2.

引理3［6］设M∈△2，x∈L*M，则对任何ε ＞0都存在δ＞0，当‖x‖M≥ε时，ρM（x）≥δ.

2 主要结果及证明

产生矛盾.

定理2 inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1} ＞ 1的充要条件是M∈△2∩▽2

证明 必要性.若M≠△2，存在αl↑∞ 使得

其中，F是一事先给定的正测度子集.选F的一个互不相交子集列{Fl}∞l=1使得

充分性.若 M∈ △2，则 ‖x‖M=1蕴涵着ρM（x）=1.因此，对x∈S（LM），如果k＊＊x≥1，则

有界，设其为C.于是

由引理1证明过程:

定理 3 sup{‖x‖M:‖x‖M，p=1} ＜ 1 当且仅当 inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1} ＞ 1.证明 假设

则对δ＞0，-x1使得

故 inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1}=1.

这说明假设不成立.

另一方面，假设

则对0＜δ＜1，-x1使得

这说明假设不成立.

由定理2和定理3立即可得:

推论1 在Orlicz空间中，下面三个条件等价:

:

［1］段丽芬，崔云安.广义Orlicz范数和广义Luxemburg范数［J］.兰州理工大学学报，2006，32（2）:131－134.

［2］W.Orlicz.ber eine gewisse Klasse von Rumen vom Typus B［M］.Poland:Bull.Acad.Polonaise A，1932:207 －220;Reprinted in:W.Orlicz.Collected Papers.Warszawa:PWN － Polish Scientific Publishers，1988:217 －230.

［3］W.A.J.Luxemburg.Banach function spaces［D］.Delft Techn.Univ.，1955.

［4］段丽芬，崔云安.赋广义Orlicz范数的Orlicz空间的端点［J］.浙江大学学报:理学版，2007，34（3）:252－256.

［5］许晶，崔云安，庄彩彩.赋广义Orlicz范数的Orlicz空间中 的两个特征［J］.通化师范学院学报，2010，31（12）:14－15.

［6］CHEN S T，Geometry of Orlicz Spaces［M］.Warszawa:Dissertations Math，1996:1 －204.