数学建模思想融入数学分析课堂的几点思考

代丽丽，李博琦

（通化师范学院数学学院，吉林通化 134002）

1 数学分析课程的现状分析

数学分析是高等院校数学与应用数学专业一门重要的专业基础课程.在高等院校的培养方案中，数学分析课程课时较长，学分较多，并且是数学专业考研必考的课程之一.所以，一直受到教师及学生的普遍认可和高度重视，由于课程设置的连续性，数学分析课程在内容上对后继课程（如常微分方程、复变函数、实变函数等）有着重要影响，同时，数学分析所蕴含的数学思想、逻辑思维能力、推演总结能力在整个数学教育中都起着奠基石的作用.鉴于数学分析课程的重要性，学好并对其做到融会贯通就显得尤为重要.但是，目前在师范院校学生对数学分析的学习状态不容乐观，一方面是传统理论课的原因，教学方法和手段较简单，推演及证明过程较多，使得学生对这门学科缺乏兴趣.另一方面是学生对数学分析课程学习的主观能动性较差.针对此状况，对数学分析课程进行改革是非常必要的，然而如何改，怎么改，改到什么程度，成了一个新的课题.

2 数学建模的思想方法

相对于传统理论课程数学分析而言，数学建模是一门应用性和实践性很强的学科，数学建模不仅是数学走向应用的必经之路，而且是启迪数学心灵的必经之途.近数十年来，数学迅速向自然科学和社会科学的各个领域渗透，并起着举足轻重的作用，要用数学方法解决一个实际问题，不论这个问题是来自工程、经济、金融或是社会领域，都必须设法在实际问题和数学之间架设一个桥梁，而这个桥梁就是数学建模的过程.这使得数学建模日益显示其关键作用，已成为现代应用数学的一个重要领域.因此，为了培养高质量、高层次的人才，就不能不重视数学建模这一必备的技能和素质.

那么什么是数学建模的思想方法呢?当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验.这个建立数学模型的全过程就称为数学建模.数学建模是高等院校数学主干课程中重要的实践课程，是目前高等院校教学改革的重要方向，是培养学生学以致用的重要手段.因此，将数学建模普及和推广到传统的理论课（如数学分析）课程中有着重要的现实意义.

3 将数学建模思想融入到数学分析教学中

数学建模近二十年来的蓬勃发展给沉睡的传统理论课程带来了生机，其思想方法已成为各大学教学改革的重要方向.早在2005年，教育部就已启动了教学改革的专项项目“将数学建模的思想方法融入到数学类主干课程”，该项目对改变数学类主干课程原有的教学体系起着重要的推动作用.以下就如何将数学建模的思想方法融入到数学分析教学中提出一些观点.

3.1 开设数学分析课程的同时，开设数学实验课程

数学分析课程主要涵盖了极限论、微分学、积分学、级数理论四大板块，对于大学一年级的学生，入学后主要学习极限论和微积分学这部分内容，而这些内容对于学生来说抽象难懂，而若能同时开设数学实验课程，则可以加深学生对概念和定理的理解，给学生创造动手实践的机会.数学实验课程主要应以数学软件为主，内容可包括极限运算、求导运算、求极值运算、积分运算、数值运算、画图等微积分学中的基本运算.

3.2 在数学分析课程中增加案例教学

对于传统的数学分析课程，学生最大的疑问是学了本门课程到底有什么用，除了考研以及后继课程需要数学分析课程做铺垫外，对实际生活有没有贡献，这就是教学改革的一个重要方向，以实际问题为导向，不仅能够调动学生学习的积极性，还能培养学生勤于思考的良好习惯.同时，也能加深学生对许多重要的数学概念、方法的理解，提高学生学习数学分析的兴趣、信心，并能了解和一定程度地掌握数学建模的思想和方法，对今后的学习和生活中用数学解决实际问题奠定了基础.

下面给出2个将数学建模融入到数学分析课程中的具体实例.

例1 分针和时针的重合问题.

一天中零点和十二点时分针和时针是重合的，除此之外，分针和时针还有几次重合?具体在什么时间呢?

这是一个非常实际的问题，学生对其也很感兴趣，并且学生会想出很多种方法来解决这个问题.那么，就在学完数列极限运算法则后，将这个实例引入，和学生一起讨论这个问题的解法，并引导学生用下面的方法来解决这个问题.

通过这个实例，学生会对数学建模很感兴趣，并且深刻的认识到所学的理论知识有着重要应用.通过类比可以发现在生活中很多实际问题都可以利用极限的知识来解决.

例2 易拉罐问题.

可口可乐罐头是由美国亚特兰大的药剂John Stith Pemberton博士作为装加奎宁水的杜松子酒而发明的.第一个罐装可口可乐是1955年为了运给驻在日本和太平洋地区的美军人员而制作的.大约在二十世纪八十年代才逐渐演变成现在的形状.那么，易拉罐为什么要设计成这种形状呢?这同样是一个非常实际的问题，学生也会对其很有兴趣.那么，就在学完函数的最值后，将这个实例引入，和学生一起讨论这个问题的解法，并引导学生用下面的方法来解决这个问题.

分析和假设:首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上，用几何语言来表述就是:体积给定的直圆柱体，其表面积最小时半径和高为多少?

表面积用S表示，体积用V表示，则有

于是我们可以建立以下的数学模型:

其中，S是目标函数，g（r，h）=V－πr2h=0是约束条件，V是已知的（即罐内体积一定），要在体积一定的条件下，求罐体积最小的r，h.最小面积为

S（r0）=6=6r20.有没有直径等于高的易拉罐呢?没有.这样的结论显然不符合常理.所以，要对模型进行改进.用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬，假设除易拉罐的顶、底盖外，罐的厚度相同，记作b，顶、底盖的厚度相同为ab.想象一下，硬度体现在同样材料的厚度上.因此，我们必须考虑所用材料的体积.另外，易拉罐可以简化为圆台加圆柱形罐，可以假设圆台部分是个直圆台，实际上，它也可能是某个曲线段（例如:双曲线的一段）绕中轴线旋转而得的圆台.假设所用材料与罐内的表面积成正比，即各部分的材料体积与该部分的面积成正比来近似制罐材料的体积，这样可以进一步得到更贴近实际的结果.

此外，可以在最值定理之后，以“森林救火问题”为实例，在讲指数函数时，引入“人口增长模型”，学完定积分知识后，可以以“存贮问题”为实例等.

4 增加数学模型示范课

在每学期结束后，以讲座的形式增加数学模型示范课，主要以教师对数学模型问题的分析为主，充分调动学生的学习积极性，引导学生思考和讨论，共同参与和完成建模过程.

总之，在传统的数学分析课程教学过程中，体现数学建模思想，注重培养学生解决实际问题的能力，是数学分析课程改革的发展方向.同时，教师应在教学过程中给学生创造机会，让学生动手解决一些简单的实际应用问题.

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