用正切代换方法证明几何不等式

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

用正切代换方法证明几何不等式

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

提出用正切代换方法证明三角形几何不等式和圆内接四边形不等式；给出了代换公式，诸多实例表明该方法是有效的；同时，针对正切代换方法，提出了2个待解决的问题．

三角形几何不等式；圆内接四边形不等式；正切代换方法

文献[1]的作者提出用正切代换方法证明三角形不等式和圆内接四边形不等式．本文中，笔者继续对正切代换的相关问题进行讨论．

1 正切代换方法及其代换公式

1．1 三角形中的正切代换方法

△ABC中的齐次不等式，总可以化为关于三角形3个内角函数的不等式

f(A,B,C)≥0．(1)

由于A＋B＋C＝π，故可将式(1)中的角元消去1个．现假设消去角C，得到仅含有角元A和B的三角函数不等式

g(A,B)≥0．(2)

φ(t1,t2)≥0, t1＞0,t2＞0．(3)

这样就将三元不等式(1)转化成了二元不等式(3)．在这个转化过程中，由于应用了万能置换公式，即把三角形内角的三角函数通过其半角的正切表示出来，故将这种证明不等式的方法称为正切代换方法．

设△ABC的3条边为a,b,c，3个内角为A,B,C，半周为s，3条角平分线为wa、wb、wc，中线为ma、mb、mc，高和旁切圆半径分别为ha、hb、hc和ra、rb、rc，内切圆和外接圆半径分别为r和R，则有如下代换公式：

评注1 注意不等式(1)是三角形几何不等式，它是带约束条件的，那么不等式(3)也是带有约束条件的．由公式1)～35)知，这个约束条件是

式(4)本质上就是三角形的构成条件．

1．2 圆内接四边形中的正切代换方法

设有……