基于Lame方程研究非线性Schrödinger方程的行波解

相春环

(重庆文理学院数学与财经学院，重庆 永川 402160)

近年来探索非线性偏微分方程的解析解，即可积性问题的研究已成为非线性数学物理领域学者研究的一个热点［1-3］．由于非线性偏微分方程可以较近似的描述很多非线性物理现象，从而被物理学、生物学、化学、工程建设等方向用作模型．本文研究的非线性Schrödinger方程就是一个被应用在众多方向(热力学、非线性光学、非线性声学、量子凝聚物质等)且被广泛研究的非线性偏微分方程，特别是在玻色-爱因斯坦凝聚的研究中，该方程的应用就是被关注的重要见证之一［4-5］．另外，关于高温超导和冷原子在光格子上实验理论和应用研究这一竞争非常激烈的热点问题也涉及该方程的应用［6］．数学工具的实际应用深刻地揭示了数学、物理学等领域中许多不同分支之间的一些相互联系，更重要的是其中所涉及的新思想，特别是一些新的代数结构，为物理学相关问题的研究提供了更广泛的基础．本文从Lame方程［7］的角度，并借助椭圆方程研究了非线性Schrödinger方程的行波解．

1 关于Lame方程

2 非线性Schrödinger方程的行波解

非线性Schrödinger方程是科学研究中一个重要的方程，其一般形式表示如下：

方程(2)中α和β是两个常参数系数，其中α是色散频率系数，β是朗道系数．在不失一般性的条件下可设非线性Schrödinger方程的通解如下：

k和w分别为波数和频率．将(3)式代入(2)式可得如下形式的方程：

由微扰展开法的知识可得方程(4)波函数的无穷项展开式……