●
(宿州学院附属实验中学 安徽宿州 234000)
数列中裂项相消的常见策略
●马杰
(宿州学院附属实验中学 安徽宿州 234000)
裂项相消是数列中常见的求解策略,裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此类方法,本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结,以供参考.
分析因为
所以
例2已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求a4及Sn;
(2010年山东省数学高考理科试题)
分析(1)略.
(2)由an=2n+1,得
从而
因此
得
把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数,凑成差的形式进行裂项.例如an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1等形式.
例5已知数列an满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1),且a2=6,设bn=an+n(n∈N),求{bn}的通项公式.
分析将an=bn-n代入(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得
(n-1)bn+1=(n+1)bn-2(n+1),
从而
即
cn= (cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c3-c2)+c2=
于是
例7在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=tanan·tanan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2011年安徽省数学高考理科试题)
分析(1)an=lgTn=n+2(n≥1).
(2)由题意和第(1)小题的计算结果,知
bn=tan(n+2)·tan(n+3)(n≥1).
于是
例8证明:存在常数A和B,使对一切n∈N+,有a1+a2+…+an=Atann+Bn,其中ak=tank·tan(k-1),k∈N+.
分析对于一切k∈N+,有
变形可得
从而
等差数列的定义是学生经常用到的,只要稍加变形就可以用于裂项求和.
例10各项都是正数的等比数列{an}满足an≠1(n∈N*),当n≥2时,证明:
即
例11求和:1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=________.
分析直接利用n·n!=(n+1)!-n!可得结果是(n+1)!-1.