巧用正三角形解题

●

(余姚市实验学校 浙江余姚 315400)

巧用正三角形解题

●应立君余雪赞

(余姚市实验学校 浙江余姚 315400)

正三角形又称等边三角形，是最完美的三角形．它的3条边相等，3个内角均为60°，可以据此进行边角的传递、转化；它是轴对称图形，被对称轴分成的2个三角形(含有30°角的特殊直角三角形)，可以据此进行长度、角度、面积等计算；它又是旋转对称图形，据此可把它分成3个全等的特殊等腰三角形(顶角为120°)．本文介绍正三角形在竞赛解题中的的几种用法，旨在抛砖引玉.

1 化归成“正三角形”

正三角形是特殊的锐角三角形，据此可以对某些试题进行特殊化求解．

例1已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是

( )

A．30° B．45° C．60° D．75°

(2007年全国初中数学联赛试题)

原解如图1，联结BO并延长交⊙O于点A′，联结AA′，A′C．易知AH⊥BC，A′C⊥BC，得

AH∥A′C，

同理

AA′∥HC，

因此

得∠BA′C=60°，故∠BAC=60°．

巧解联想到△ABC为正三角形时，正好满足题设条件.故选C．

评注针对单项选择题，若用特殊值法，则可快速高效地解决．

图1 图2

例2已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC=

( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

(2005年全国初中数学联赛试题)

原解如图2，联结IA1,IB1,IC1,IB.由轴对称性知

IA1=IB1=IC1=2ID，

且ID⊥BC，点I是△A1B1C1的外心，因此IB=2ID，从而∠IBD=30°.同理∠IBA=30°，于是∠ABC=60°.故选C.

巧解当△ABC为正三角形时，满足题设条件.故选C.

评注利用正三角形内心、外心重合的特殊性质，联想到正三角形与之契合.

例3已知正数a,b,c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=k．求证：aB+bC+cA

(第21届全苏数学奥林匹克竞赛试题)

原解设f(a)=aB+bC+cA-k2=

a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)-k2=

(k-b-c)a+(b-k)(k-c),

当k-b-c=0时，f(a)=(b-k)(k-c)<0;当k-b-c≠0时，f(a)是a关于的一次函数，f(a)随着a的变化而单调增加或减少,且

f(0)=(b-k)(k-c)<0，

f(k)=k(k-b-c)+(b-k)(k-c)=-bc<0．

因此，当0

aB+bC+cA-k2<0，

故

aB+bC+cA

图3 图4

巧解如图3，构造边长为k的正△PQR，在各边上分别取点D,E,F，使PD=A，QE=B，RF=C，则QD=a，RE=b，PF=c．易知

S△QDE+S△REF+S△PFD

得

即……