巧用构造法证明不等式竞赛题

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(东阳市外国语学校高中部 浙江东阳 322100)

巧用构造法证明不等式竞赛题

●厉军萍

(东阳市外国语学校高中部 浙江东阳 322100)

不等式的证明，凭借其简单的知识基础、独特的解题构思、发散的证明方向、奇妙的推理过程成为数学竞赛中永恒的热点之一.构造法，作为技巧性特别强的一种解题方法，主要通过构造适当的变量、等式、函数、图形、数列、模型等辅助手段，使问题转化，揭示出直观和本质的形式，从而有助于问题的解决.构造法与不等式证明的结合，往往能相得益彰，迸发出令人赞叹的思维火花.本文拟通过具体例子，分类阐述如何巧用构造法证明不等式竞赛题.

1 构造函数关系证明不等式

例1已知a,b,c∈(-2,1)，求证：abc>a+b+c-2.

分析此不等式2边关于a,b,c对称，且a,b,c都是一次的，可以尝试构造一次函数.

证明设f(x)=(bc-1)x-b-c+2，则

因为b,c∈(-2,1)，所以

故

从而

f(1)=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)>0,

当x∈(-2,1)时，f(x)恒大于0，于是f(a)>0，即abc>a+b+c-2.

分析从条件和结论的形式看，a,b,c呈轮换对称，因此构造的函数也应当是轮换对称型.

证明由a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)，可知原不等式等价于

(1)

令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-x2+(ab+bc+ca)x-abc，则

因此

整理即得式(1).故原不等式得证.

2 构造数列证明不等式

从数列的定义上看，数列可以看作一个定义在自然数集或其有限子集上的函数当自变量从小到大依次取值时的一系列函数值，因此可以从数列的角度理解函数或不等式.利用数列的通项公式和求和公式以及利用数列的特殊性质证明不等式，与一般证明相比较，常常显得新颖独特，别具一格.

(第19届莫斯科数学竞赛试题)

故原不等式成立.

故

3 构造图形证明……

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