一类含p(x)-Laplace算子的拟线性椭圆方程三解的存在性

尹洪辉, 刘 英

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

一类含p(x)-Laplace算子的拟线性椭圆方程三解的存在性

尹洪辉, 刘 英

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

讨论了一类含p(x)-Laplace算子的拟线性椭圆方程.在Dirichlet边界条件下解的存在性,利用B.Ricceri的三解定理得到了方程至少存在三个弱解.

p(x)-Laplace算子; Sobolev空间; 三解定理

0 引言

本文我们研究如下一类拟线性椭圆方程:

(1)

令Π={1,2,…,m},假设f(x,t)=∑i∈Πai(x)gi(x,t),∀(x,t)∈Ω×R,

满足.

这里

(C)h:Ω×R→R是Caratheodory函数,对∀sgt;0,sup|ζ|≤s|h(·,ζ)|∈L1(Ω).

对具有p(x)-增长性条件的微分方程和变分问题的研究是一个新的且有意义的课题.这方面得到很多结果[3,4,7,12]. 特别地当p(x)≡p时,问题(1)就是众所周知的p-Laplace问题. 有大量文章讨论过这类问题[1,5,9]. 当p(x)≡p,μ=0时,利用Ricceri的三解定理, G.Bonanno和P.Candito中研究了问题(1)[13]．M.Mihailescu在文[1]中讨论了问题(1)在e(x)≡1,f(x,t)=|t|q(x)-2t-t时的纽曼边值问题的三解的存在性．

本文主要目的是将文献[7,13]的结果做进一步推广,推广到更一般的情形．主要利用B.Ricceri[8]利用三解定理来研究问题(1)．由文献[2]中的定理2.3和注2.2可得文献[8]中定理1的等价形式如下:

定理1 若X是一个自反的实Banach空间,Φ:X→R是连续G可导且序列弱下半连续的C1泛函,且在X的有界子集上是有界的,且它的G导数在X*的逆是连续的．Ψ:X→R是具有紧G导数的C1泛函．如果

(i) ∀λgt;0,lim‖u‖→∞(Φ(u)+λΨ(u))=∞;且存在r∈R,u0,,u1∈X满足:

(ii)Φ(u0)lt;rlt;Φ(u1);

满足,那么就存在一个非空开集Λ⊆[0,∞)和一个正实数ρ满足如下性质:对每个λ∈Λ和C1泛函J:X→R具有紧G导数,存在σgt;0使对每个μ∈[0,σ],方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0

(2)

在X中至少有三个范数不大于ρ的解．

文章组织如下:第二部分给出一些相关的准备知识,第三部分给出主要定理及其证明.

1 预备知识

为了研究p(x)-Laplace问题,我们要用到空间Lp(x)(Ω),W1,p(x)(Ω)中的结论和p(x)-Laplace算子的性质,见文献[3,10].

空间W1,p(x)(Ω)定义如下

其中范数为

‖u‖=|u|p(x)+|u|p(x),∀u∈W1,p(x)(Ω)．

(i) |u|p(x)lt;1(=1;gt;1)⟺ρ(u)lt;1(=1;gt;1);

(iii) |u|p(x)→0(∞)⟺ρ(u)→0(∞).

引入范数

则易见‖u‖e是X上与‖u‖等价的范数.由性质2,下列不等式成立:

(3)

(4)

下文中我们将用‖·‖e代替X中的‖‖.

证明显然X→W1,p-(Ω)是一个连续的嵌入,而当Nlt;p-,且Ω是有界的,嵌入是紧的,所以当Nlt;p-时嵌入X→C0(Ω)是紧的.

由性质4知存在一个仅依赖于p(x),N,Ω的常数c满足

(5)

我们定义Φ,J:X0→R为

(6)

则

记

我们说u∈X0是问题(1)的一个弱解,若

这样如果u∈X0是问题(2)的解,则u是问题(1)的一个弱解．接下来由定理1来寻找问题(1)的弱解.

2 三解的存在性

首先给出如下结果.

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证明首先Φ′是一致单调的. 事实上,由文献[6]有如下不等式

由该不等式可得Φ′的一致单调性.由(3), 对∀u∈X,‖u‖≥1,有

即Φ′是强制的. 从而Φ′是半连续的.所以由文献[11]中定理26 A可得结论成立.

进一步,对f(x,t)我们给出如下假设.

(D) 对每个i∈Π,下列条件之一成立,

引理2 若(A),(B)和(D)成立,则对∀λgt;0,Φ(u)+λΨ(u)是强制的.

证明记Π1={i∈Π(D1)成立},Π2=ΠΠ1.

对每个i∈Π,由|gi(x,t)|≤bi(x)+ci|t|qi(x)-1及Yong 不等式,我们有

则对∀u∈X0,f(x,u)在Ω上可积,则Ψ(u)是有定义的.由(D),我们有

Fi(x,t)≤-ai(x)vi(x),i∈Π2.

结合性质3我们有

Φ(u)+λΨ(u)=

定义如下集合.

Π3={i∈Πai(x)Gi(x,t)→∞,t→∞},

Π4=ΠΠ3,

则我们有如下主要结论.

定理2 设p-gt;N,且(A),(B),(C)和(D)成立, Π=Π3或者Π5≠⟩,则存在开区间Λ⊂(0,∞)和一个正常数ρ使对∀λ∈Λ,问题(1)至少存在三个范数小于ρ的弱解.

证明由引理1知(Φ′)-1是有定义的, 则可应用定理1 得到相关结果.下面只需证明定理1的所有条件满足.显然,由Φ,Ψ,J的定义,知Φ是连续G可导且弱下半连续的C1泛函,在X的任意有界集上是有界的,Ψ,J是具有紧G导数的C1泛函,由引理2知条件(i)满足.当Π=Π3或者Π5≠⟩成立时,可选择常数bgt;1使

(7)

Φ(u0)=Ψ(u0)=0,

这样定理1中的条件(ii)满足．

最后计算可得

(8)

由‖e‖1≤α知rlt;1,再由Φ(u)≤r推出‖u‖≤1. 由(6)有

(9)

由(3)和(9)有

由(7)有

(10)

由(8),(10)知定理1的条件(iii)成立.这样定理1的所有条件满足,结论得证.

[1] Anello G,Cordaro G. Existence of solutions of the Neumann problem for a class of equations involving thep-Laplacian via avariational principle of Ricceri[J]．Arch Math,2002,79:274-287.

[2] Bonanno G. A minimax inequality and its applications to ordinary differential equations [J]．J Math Anal Appl,2002,270:210-219.

[3] Fan X L, Zhao D. On the spaces Lp(x)(Ω) and Wm,p(x)(Ω)[J]．J Math Anal Appl,2001,263:424-446.

[4] Fan X L. Solutions forp(x)-Laplacian Dirichlet problems with singular coefficients[J]． J Math Anal Appl,2005,312:464-477.

[5] Faraci F. Multiplicity results for a Neumann problem involving thep-Laplacian[J]．J.Math Anal Appl,2003,277:180-189.

[6] Kichenassamy S, Veron L. Singular solutions of thep--Laplace equation[J]．Math Ann,1985,275 :599-615.

[7] Mihailescu M. Existence and multiplicity of solutions for a Neumann problem involving thep(x)-Laplace operator[J]．Nonlinear Anal, 2007, 67:1419-1425.

[8] Ricceri B. A three critical points theorem revisited[J]．Nonlinear Anal, 2009, 70:3084-3089.

[9] Ricceri B. Infinitely many solutions of the Neumann problem for elliptic equations involving thep-Laplacian[J]．Bull London Math Soc, 2001, 33:331-340.

[10] Ruzicka M. Electro-rheological Fluids:Modeling and Mathematical Theory,Lecture Notes in Math[M]．Springer-Verlag, Berlin,2000.

[11] Zeider E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications,II/B:Nonlinear Monotone Operators[M]．Springer, New York,1990.

[12] Zhang Q H. Existence and asymptotic behavior of positive solutions for a variable exponent elliptic system without variational structure[J]．Nonlinear Anal, 2010, 72:354-363.

[13] G Bonanno, P Candito. Three solutions to a Neumann problem for elliptic equations involving thep-Laplacian[J]．Arch Math (Basel), 2003, 80:424-429.

[责任编辑：李春红]

ThreeSolutionsforAClassofQuasilinearEllipticEquationsInvolvingthep(x)-LaplaceOperator

YIN Hong-hui, LIU Ying

(School of Mathematical Sciences, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

The existence of at least three weak solutions is established for a class of quasilinear elliptic equations involving thep(x)-Laplace operator with Dirichlet boundary condition. The technical approach is mainly baced on a three critical points theorem due to Ricceri.

p(x)-Laplacian; Sobolev space; three critical points theorem

O175.8

A

1671-6876(2012)02-0111-06

2011-09-19

尹洪辉(1977-), 男, 江苏淮安人, 博士研究生, 研究方向为偏微分方程及其应用.