关于上(下)半连续函数的讨论

尚朝阳

(南京财经大学 应用数学学院， 江苏 南京 210046)

关于上(下)半连续函数的讨论

尚朝阳

(南京财经大学 应用数学学院， 江苏 南京 210046)

给出了拓扑空间上的上(下)半连续函数的概念及其等价命题,证明了上(下)半连续函数的一些基本性质, 最后介绍常用的Hardy-Littlewood极大函数的下半连续性以及弱下半连续泛函.

拓扑空间; 上(下)半连续; 极大函数; 泛函

0 引言

函数的连续性在分析学中有着重要的理论意义和应用价值,而如今人们对函数的连续性已经了解得较为透彻.在连续函数的理论及其应用的推动下,一些学者纷纷将连续的条件进行减弱,并且在此基础上得出了许多漂亮和有用的结果,如函数的上(下)半连续性和泛函的弱上(下)半连续性等等. 函数的上(下)半连续性在广义函数理论、积分理论以及凸分析等很多研究领域有着广泛的应用[1,2]. 然而泛函的弱上(下)半连续性在极值理论中也有许多应用[3], 尤其重要的是在著名的Ekeland变分原理[3]及Caristi不动点定理[3]等方面的应用. 本文在文献[4,5]的基础上讨论一般拓扑空间中上(下)半连续函数的几个等价命题、四则运算性质、有界性、保半连续性以及半连续函数都可以用一致连续函数进行单调逐点逼近. 最后我们还介绍常用的Hardy-Littlewood极大函数的下半连续性和弱下半连续泛函,以及上(下)半连续函数的例子.

1 上(下)半连续性的概念和等价命题

定义1 设X是一个拓扑空间,f:X→R是定义在X上的一个实值函数,x0∈X,称f(x)在x0处上半连续,如果∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,恒有f(x)lt;f(x0)+ε.又称f(x)在x0处下半连续,如果∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,恒有f(x)gt;f(x0)-ε.当且仅当f(x)在∀x∈X处上(下)半连续时,称f(x)在X中上(下)半连续.

注1f(x)在x0处连续当且仅当f(x)在x0处既上半连续又下半连续.

定理1 设f(x)是在度量空间X上的一个实值函数,x0∈X. 则下列命题等价:

1)f(x)在x0处上半连续;

3)∀α∈R,集合{x∈X:f(x)lt;α}是开集.

3)⟹1) ∀εgt;0,取α=f(x0)+ε,因为集合E={x∈E:f(x)lt;α}是开集且f(x0)lt;f(x0)+ε,故x0∈E,于是存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,有f(x)lt;f(x0)+ε.

注2 上半连续性与下半连续性是对偶概念. 以上只证明了上半连续的结果,同理可证明关于下半连续的相应结论.

推论1 1) 开集上的特征函数是下半连续的.

2) 闭集上的特征函数是上半连续的.

下证对∀α∈R,A={x:χE(x)gt;α}是开集.当α≥1时,A=ø是开集.当0≤αlt;1时,A=E是开集,当αlt;0时,A=X是开集.故∀α∈R,A是开集.

要证明对∀α∈R,A={x:χE(x)lt;α}是开集. 当αgt;1时,A=X是开集. 当0lt;α≤1时,A=EC是开集. 当α≤0时,A=ø是开集. 因此∀α∈R,A都是开集. 因此,由定理1可知1)和2)均成立.

推论2 1) 设{fn:n∈I}是X上的任意一族下半连续函数,则其上确界也是下半连续的.

2) 设{fn:n∈I}是X上的任意一族上半连续函数,则其下确界也是上半连续的.

2 上(下)半连续函数的一些基本性质

定理1(四则运算性质) 设f(x),g(x)均定义在拓扑空间X上的实值函数,则有下列命题成立:

1) 若f(x),g(x)都上(下)半连续,则f(x)+g(x)上(下)半连续.

2) 若f(x)上(下)半连续,则-f(x)为下(上)半连续.

3) 若f(x)gt;0及g(x)gt;0且都上半连续(或f(x)lt;0及g(x)lt;0,且都下半连续),则它们的积f(x)g(x)为上半连续.

4) 若f(x)gt;0上(下)半连续,g(x)lt;0为下(上)半连续,则f(x)g(x)下(上)半连续.

证明1)和2)可通过上(下)半连续的定义直接得出.

3) 如果f(x)及g(x)gt;0且上半连续,那么∀εgt;0,∀x0∈X,取

存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时有0lt;f(x)lt;f(x0)+ε0,0lt;g(x)lt;g(x0)+ε0.

则有

f(x)g(x)lt;(f(x0)+ε0)(g(x0)+ε0)=f(x0)g(x0)+ε,故f(x)g(x)在X上上半连续.

4) 当f(x)gt;0上半连续,g(x)lt;0为下半连续时,有-g(x)gt;0为上半连续,由3)知-f(x)g(x)为上半连续,得f(x)g(x)为下半连续

注3 如果把上述推论中的下半连续函数换成上半连续函数,则相应的结论不成立. 反例如下:

定理2 (有界性)设X是拓扑空间,如果f:E→R为上(下)半连续函数,E⊂X且E是紧集,那么f在E上必有上(下)界,并且达到上(下)确界,即若f(x)在紧集E上上(下)半连续,则

1)f(x)在E上有上(下)界,即∃Mgt;0,使f(x)≤M,∀x∈E(或∃mlt;0,使m≤f(x), ∀x∈E).

同理证明下半连续的有界性.

定理3 (保半连续性)设函数列fn(x)(n=1,2,…)在拓扑空间X上上半连续,且fn(x)单调递减趋于f(x),即f1(x)≥f2(x)≥…fn(x)≥fn+1(x)≥…,∀x∈X

又因为fn(x)单调递减趋于f(x),故有f(x)≤fn(x), 从而当x∈U(x0)时有f(x)lt;f(x0)+ε,于是f(x)在X上上半连续.

类似地证明关于下半连续函数的保下半连续性结果.

下面给出上半连续函数的一种刻画,即它可以作为单调一致连续函数序列的极限.

证明应用定理3可知充分性,下面证明必要性.

定义函数fn(x)=sup{f(p)-nd(x,p):p∈X},x∈X,则fn(x)(n=1,2,…)都是X上的有限函数并且由定义知函数序列{fn(x)}是单调递减的.

由上确界的定义知,∀εgt;0,存在p1∈X使得

fn(y)-εlt;f(p1)-nd(y,p1)

(1)

由函数的定义知

fn(x)≥f(p)-nd(x,p),∀p∈X

(2)

当p取p1时,有

fn(x)≥f(p1)-nd(x,p1)

(3)

通过1)和3)且令ε→0+,有fn(x)-fn(y)≥nd(y,p1)-nd(x,p1)≥-nd(x,y),

再互换x,y,有fn(y)-fn(x)≥-nd(x,y),故有|fn(x)-fn(y)|≤nd(x,y),

注4 由上述定理可知,上半连续函数可用一致连续函数从上方来逼近,关于下半连续函数也有类似的结论,即下半连续函数也可用一致连续函数从下方来逼近.

3 上(下)半连续函数的一些常见的例子及应用

3.1 应用上(下)半连续的性质和等价刻画判定常见函数的半连续性

1)D(x)在有理点处上半连续,但不下半连续.

2)D(x)在无理点的情况恰恰相反.

例2 Riemann函数

则有:1)R(x)在无理点处既上半连续又下半连续.

2)R(x)在有理点处上半连续,但不下半连续.

由此可知Riemann函数在无理点处连续,在有理点处不连续.

3.2 半连续函数的两个应用

利用半连续函数的相关性质来证明常用的Hardy-Littlewood极大函数是下半连续的可测函数.

在Banach空间中,如果将上(下)半连续的条件适当减弱,可以得到泛函的弱上(下)半连续性及其相关性质.最后我们以泛函弱下半连续性的一个有趣例子来结束本文,而对于弱上半连续的泛函也有类似的结果.

[1] 黄金莹,赵宇. 关于半连续函数与凸函数的注记[J]. 高等数学研究,2010,32(2):91-92.

[2] 韦丽兰. 预拟不变凸函数与半连续函数的关系[J]. 江西师范大学学报：自然科学版,2009,33(2):242-244.

[3] 孙经先. 非线性泛函分析及其应用[M]. 北京:科学出版社,2008.

[4] 卢天秀,朱培勇. 拓扑空间上半连续函数的一些性质[J]. 西南民族大学学报：自然科学版,2008,34(6):1133-1137.

[5] Walter Rudin. Real and Complex Analysis (Third Edition)[M]. Beijing: China Machine Press,2004.

[6] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,2001.

[责任编辑：李春红]

DiscussionsontheUpper(Lower)SemicontinuousFunctions

SHANG Zhao-yang

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210046)

In this paper, first we give the concepts of the upper(lower) semicontinuous functions on a topological space and their equivalent propositions, and then show a few basic properties of the upper(lower) semicontinuous functions, finally present the lower semicontinuity of common Hardy-Littlewood maximal functions and weakly semicontinuous functionals.

topological space; upper (lower) semicontinuous function; maximal function; functional

O29

A

1671-6876(2012)02-0137-05

2012-03-02

尚朝阳(1988-), 男, 江苏无锡人, 硕士研究生, 研究方向为非线性泛函分析及其应用.