一类带有两个参数变号四阶多点边值问题的正解

李 东, 方海文, 方秀男, 杨文泉, 康赵敏, 赵 宇

(佳木斯大学 理学院 数学系, 黑龙江 佳木斯 154007)

一类带有两个参数变号四阶多点边值问题的正解

李 东, 方海文, 方秀男, 杨文泉, 康赵敏, 赵 宇

(佳木斯大学 理学院 数学系, 黑龙江 佳木斯 154007)

应用拓扑度理论及下解的方法, 讨论了以下带有两个参数的四阶多点边值问题

u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)), 0lt;tlt;1,

拓扑度理论; 下解; 正解; 变号; 参数; 多点

0 引言

近年来,许多作者应用Leray-Schauder不动点理论,迭合度理论等方法研究了四阶边值问题解的存在性[1-4].在文[1]中,Li研究了下列四阶两点边值问题的正解存在性

其中f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续的.

受文[5]启发,在本文中,我们考虑以下四阶多点边值问题:

(1)

(H1)f(t,u,u′′):[0,1]×R2→R是连续的;

1 相关引理

引理1 假设条件(H2)成立,且φj,φj分别是以下线性问题

(2)

和

(3)

和

令

由Liouville公式,我们记

(4)

且

(5)

(6)

有唯一解

(7)

其中

(8)

(9)

且

(10)

(11)

其中Gj(t,s)如(8)式所示.易知,如果Aj(y),Bj(y)分别表示成(9)式,(10)式,则方程(6)的解可表示成(11)式.下面我们将证明Aj(y),Bj(y)分别如(9)式,(10)式所示.(8)式代入(11)式,我们有

(12)

则,

(13)

那么由(12)及(13)式,可得

由于

(14)

(15)

那么由(2),(3)及(14)式

(16)

由(2),(3)及(15)式

(17)

那么由(16)及(17),通过常规计算可知

且

引理得证.

(18)

其中

(19)

(20)

证由常规计算可完成引理3的证明,这里略去.

那么由(18)式,可知

(21)

易知如下引理

引理5 问题(1)至少存在一个正解当且仅当以下问题至少存在一个正解

(22)

证事实上,由(18)式,如果u是问题(1)的一个解,那么,v=-u′′+λ1u是问题(22)的一个解.另外,若v是问题(22)的一个解,令u=Sv,由(18)式,我们有-u′′+λ1u=-(Sv)′′+λ1(Sv)=v.那么,u=Sv是问题(1)的一个解.证毕.

令g(t,Sv,v)=f(t,Sv,λ1(Sv)-v),则问题(22)等价于以下问题

(23)

引理6[5]假设T:X→X是全连续的.定义算子A:TX→X如下

其中ω∈C[0,1],ω≥0,是给定的函数.那么A∘T→P也是全连续的.

2 主要结果

为方便起见,令

(24)

则边值问题(23)至少存在一个正解v*(t)满足

证令

(25)

定义算子T:P→X如下

(26)

类似引文[6]中的引理2.1的证明,易知算子T是全连续的.定义算子A:X→P如下

(Av)(t)=max{v(t),0}

(27)

那么由引理6,可知算子A∘T:P→P也是全连续的.

(28)

且∃rgt;κgt;0,使得

(29)

令Ω={v∈P:||v||lt;r},那么,对于v∈∂Ω,我们由(28)式及(29)式知

(30)

类似地,

(31)

于是,由(30)及(31)式可知

μδ2(A0+B0)rlt;r.

(32)

假设(32)式不成立,则存在t0∈[0,1]使得

(33)

事实上t0≠0,1,如果t0=0,我们有

证类似定理1的证明,我们可完成定理2的证明,这里略去.

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[4] Zhang X, Liu L, Zou H. Positive solutions of fourth-order singular three-point eigenvalue problems[J]. Appl Math Comput,2007,189:1359-1367.

[5] Xie D P, Bai C Z, Liu Y, Wang C L, Existence of positive solutions for nth-order boundary value problem with sign changing nonlinearity[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2008, 8: 1-10.

[6] Greaf J, Yang B, Positive solutions a multi-point Higher order boundary value problem[J]. J. Math Anal Appl, 2006,316:409-421.

[责任编辑：李春红]

PositiveSolutionsforFourth-OrderMulti-PointBoundaryValueProblemWithtwoparametersandSignChangingNonlinearity

LI Dong, FANG Hai-wen, FANG Xiu-nan, YANG Wen-quan, KANG Zhao-min, ZHAO Yu

(Department of Mathematics, College of Science Jiamusi University, Jiamusi Heilongjiang 154007, China)

In this paper, we investigate the existence of positive solutions for the furth-order multi-point boundary value problem with sign changing nonlinearity

u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)),0lt;tlt;1,

method of lower solution with the method of topology degree; positive solution; multi-point; sign changing nonlinearity

O175.8

A

1671-6876(2012)02-0122-07

2012-01-18

李东(1976-), 男, 吉林长岭人, 讲师, 硕士, 研究方向为泛函分析、非线性泛函分析及其应用.