K-迭代函数系的若干性质

杨 帆

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210046)

K-迭代函数系的若干性质

杨 帆

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210046)

由一族Kannan映射可以构成一个K-迭代函数系(KIFS),Sahu已经证明了该KIFS有唯一的吸引子. 本文在此基础上研究含参量KIFS吸引子在Hausdorff度量下关于参数的连续依赖性,并讨论KIFS的拼贴性质.

K-迭代函数系; 参数的连续依赖性; KIFS拼贴性质

0 引言

1969年Kannan定义了一个新的映射——Kannan映射[1],它与一般意义上的压缩映射相比具有更宽广的条件.Kannan映射的不动点具有一些特殊的性质,许多学者对此进行了研究.文[2]研究了Kannan映射和Lipschitz映射存在不动点的条件.文[3]研究了Lipschitz型和Kannan型映射的不动点及迭代逼近的性质.Sahu等[4]利用Kannan映射构造了一个K-迭代函数系(KIFS),并证明了该KIFS在一定的条件下存在唯一的吸引子.本文将在此基础上研究含参量KIFS的吸引子在Hausdorff度量下关于参数的连续依赖性,并讨论KIFS的一个拼贴性质.

1 K-迭代函数系及其关于参数的连续依赖性

设(X;d)是一个完备的度量空间.对于映射f:X→X,若存在一个实数α(0lt;αlt;1/2),使得对所有x,y∈X,有

d(f(x),f(y))≤α[d(x,f(x))+d(y,f(y))]

(1)

则称f为X上Kannan映射,称α为Kannan映射f的K-压缩因子.

设fn,n=1,2,…,N,是一族Kannan映射,αn为fn的K-压缩因子,则称{X;fn,n=1,2,…,N}是一个K-迭代函数系.

设H(X)是由X的所有非空紧子集构成的集族,在H(X)上定义Hausdorff度量h如下:

引理1[4]设fn:X→X,n=1,2,…,N,是一族连续的Kannan映射,fn的K-压缩因子分别为αn,n=1,2,…,N.则映射F:H(X)→H(X):

是完备度量空间(H(X);h)上的连续Kannan映射,且其K-压缩因子为α=max{α1,α2,…,αN},它存在唯一的不动点(吸引子)A∈H(X),满足:

(2)

根据引理1,我们得到一个类似于式(1)的不等式:

h(F(B),F(C))≤α[h(B,F(B))+h(C,F(C))],∀B,C∈H(X)

(3)

设(Λ;dΛ)为度量空间,映射fn:X×Λ→X,n=1,2,…,N满足下列条件:

1) 对每个固定的λ∈Λ,fn为X上的Kannan映射,其K-压缩因子αn满足0lt;αnlt;1/2;

2) 对于每个固定的x∈X,fn为Λ上的连续函数.

(4)

引理2 设(X;d)是完备度量空间,(Λ;dΛ)是紧度量空间.若含参量Kannan映射fn:X×Λ→X,n=1,2,…,N,满足条件1)和2),则对∀B∈H(X),G(B,λ)在Hausdorff度量下关于λ是连续的.

证明首先讨论N=1的情况.设B∈H(X),λ1,λ2∈Λ,则有

因为B×Λ是紧集,f1(x,λ)在其上连续,因此一致连续.于是对任给εgt;0,存在δgt;0,对∀y∈B,只要dΛ(λ1,λ2)lt;δ,就有

3.3 ATG9和小泡膜蛋白1 在酵母细胞中，ATG9来源于高尔基体膜的单层囊泡，这些ATG9囊泡在胞质快速运动，并整合到自噬囊泡外膜上[14]。形成成熟自噬体后，哺乳动物细胞ATG9并未整合到自噬体囊泡上，而是又游离进入胞质，其对于酵母和哺乳动物自噬体膜的扩展起重要作用[15]。

d(f1(y,λ1),f1(y,λ2))lt;ε.

于是,

d(f1(B,λ1),f1(B,λ1))+ε=ε.

同理可证,当dΛ(λ1,λ2)lt;δ时,有d(f1(B,λ2),f1(B,λ1))≤ε.所以,当dΛ(λ1,λ2)lt;δ时,

h(f1(B,λ2),f1(B,λ1))≤ε.

当Ngt;1时,根据Hausdorff度量的性质,对于Ai,Bi∈H(X),i=1,2,…,N,有

从而得知,G(B,λ)在Hausdorff度量下关于λ是连续的.

定理1 在引理2的条件下,含参量KIFS{X×Λ;fn,n=1,2,…,N}的吸引子A(λ)在Hausdorff度量下关于参数λ是连续的.

证明首先根据式(3)可得,对于∀B,C∈H(X),λ∈Λ,有

h(G(B,λ),G(C,λ))≤α[h(B,G(B,λ))+h(C,G(C,λ))].

故∀λ0,λ∈Λ,我们有

h(A(λ0),A(λ))=h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ),λ))≤

h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))+h(G(A(λ0),λ),G(A(λ),λ))

(5)

由引理2,对任意εgt;0,存在δgt;0,当dΛ(λ0,λ)lt;δ时,有

h(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))lt;ε

(6)

h(G(A(λ0),λ),G(A(λ),λ))≤α[h(A(λ0),G(A(λ0),λ))+h(A(λ),G(A(λ),λ))]

(7)

因此由式(5)-(7),并注意到(4),我们有

h(A(λ0),A(λ))≤ε+α[h(A(λ0),G(A(λ0),λ))+h(A(λ),G(A(λ),λ))]=

ε+αh(A(λ0),G(A(λ0),λ))=ε+αh(G(A(λ0),λ0),G(A(λ0),λ))≤(1+α)ε.

即A(λ)在Hausdorff度量下关于λ是连续的.

2 KIFS的拼贴性质

Sahu等[4]人基于Kannan映射不动点的一个度量公式,给出了KIFS的一个拼贴定理.本文则从Hausdorff度量的性质出发,证明了KIFS的吸引子与任一集合之间的Hausdorff距离的一个误差上界公式(KIFS拼贴性质).所得结果改进了Sahu[4]得到的结论,缩小了误差,提高了精度.

定理2 (KIFS拼贴性质)设{X;f1,f2,…,fN}是一个KIFS,K-压缩因子为0lt;αlt;1/2.A是该KIFS的吸引子,∀E∈H(X),则有

证明利用Hausdorff距离h满足的三角形不等式,并注意到式(2)和式(3),我们有

使用类似于文[5]中证明推论4.1的方法,我们可以证明关于KIFS的下列结论.

推论1 设E∈H(X),εgt;0是任意给定的常数,则存在KIFS{X;f1,f2,…,fN},使得h(A,E)lt;ε,其中A是该KIFS的吸引子.

下面我们给出用一个KIFS的吸引子逼近一个给定紧集的例子.

所以,

通过计算可得,

因此,

致谢作者衷心感谢导师王宏勇教授的指导与帮助.

[1] Kannan R. Some results on fixed points-II[J]. Amer Math Mon, 1969, 76: 405-408.

[2] Gillespie A A, Williams B B. Some theorems on fixed points in Lipschitz and Kannan type mappings[J]. J Math Anal Appl，1980, 74(2): 382-387.

[3] 赵晓全. Lipschitz和Kannan型映射的不动点及迭代逼近[J]. 哈尔滨电工学院学报, 1989, 12(4): 396-402.

[4] Sahu D R, Chakraborty A, Dubey R P.K-iterated function system[J]. Fractals, 2010, 18(1): 139-144.

[5] 沙震,阮火军. 分形与拟合[M]. 杭州: 浙江大学出版社,2005.

[责任编辑：李春红]

SomePropertiesofK-IteratedFunctionSystem

YANG Fan

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210046, China)

K-iterated function system (KIFS), which is constituted by a class of Kannan mappings, has been proved to have a unique attractor by Sahu etc. This paper is concerned with the continuous dependence on the parameter of the attractor of KIFS with a parameter in Hausdorff measure, and the collage property for the KIFS is discussed.

K-iterated function system; continuous dependence on a parameter; KIFS collage property

O184

A

1671-6876(2012)02-0142-04

2012-03-10

杨帆(1988-), 男, 江苏扬州人, 硕士研究生, 研究方向为分形理论及应用.