球与盒的分配问题求解研究

赵天玉，张 威 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

球与盒的分配问题求解研究

赵天玉，张 威 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

在组合数学与概率论的发展历史中，球与盒的分配模型起着非常重要的作用，有着广泛的应用。采用母函数与组合分析方法，借助于正整数的无序分拆数和第二类Stirling数，对球与盒的分配问题的14种情况进行了系统研究，给出了它们的分配方案的计数答案。

分配问题；母函数；无序分拆数；Stirling数

在组合数学和概率论的发展历史中，把球放入盒子里的模型起着非常重要的作用，这类问题称为球与盒的分配问题。球与盒的分配问题有着广泛的应用，如根据偶然事件在一周内发生的日期分类这些偶然事件时，球是偶然事件的类型而盒子是这一周的各天；在宇宙射线的实验中，盒子是计数器而球是到达计数器的粒子；在编码理论中，可以通过对以代码字为盒子，以误差为球的研究，得到k个代码字上的传输误差的可能分布；在图书出版中，可以通过对以页码为盒子，以球作为误印的研究而得到可能的k页上的误印分布；在生物学的照射研究中，撞击视网膜的光粒子对应于小球，视网膜的细胞对应于盒子；在礼券收集中，小球对应于特定的礼券，而盒子对应于礼券的类型[1]。虽然这类问题在一些教科书中也有论述[1-2]，但内容组织不连续，叙述过于分散；一些文献用初等方法对这类问题的某些特殊情况进行了求解[3-4]，但求解方法不具有普遍性，很难推广；……