求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法

孔祥强 (菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000)

求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法

孔祥强 (菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000)

给出了求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法，证明了算法的收敛性，并通过算例说明了算法的实用性和有效性。

Jacobi迭代法;病态线性方程组;收敛性

Jacobi迭代法是解线性方程组的一种有效方法，它具有存储量小、程序简单的特点[1]。但当方程组的系数矩阵为病态时，该方法不能再使用。下面，笔者给出了一类全新的Jacobi迭代算法。

1 Jacobi迭代法

设A=(aij)∈Rn×n,且A为非奇异矩阵,b∈Rn,线性代数方程组Ax=b有解的一阶定常迭代法为x(k+1)=Bx(k)+f,其中B=(bij)∈Rn×n。记J为Jacobi法的迭代矩阵，则J=D-1(L+U)。式中：

Jacobi迭代法[1]的矩阵形式为：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

(1)

分量形式为：

(2)

2 新的Jacobi迭代法及收敛性证明

设Ax=b,其中A非奇异且病态。令A=D+M,则Dx+Mx=b,在两边同时加上扰动项ωFx(ωgt;0,F为矩阵),ωgt;0,变为:(D+ωF)x=b+(ωF-M)x,则新的Jacobi迭代格式为：

(3)

定义1[2]设A∈Rn×n，若存在正对角矩阵D，使AD为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵。

引理1[2]设A=(aij)∈Rn×n为广义严格对角占优矩阵,则aii≠0,且det(A)≠0。

引理2[2]严格对角占优矩阵、不可约对角占优矩阵,均为广义严格对角占优矩阵。

为方便起见,不妨设F=diag(f1,f2,…,fn)为对角矩阵。

下面给出不同于文献[3]的迭代法。

定理1设A为广义严格对角占优矩阵,ωgt;0,且矩阵F的对角元素满足：

则新的Jacobi迭代法(3)收敛。

令Ax=b的新的Jacobi法的迭代矩阵G=(D+ωF)-1(ωF-M),考察G的特征值，即考察G的特征方程的根:

依引理1,aii≠0(i=1,2,…,n)，于是:

若能证明，当|λ|≥1 时，则det(C)≠0，于是G的特征根绝对值均小于1，由迭代法基本定理[4]，解Ax=b的新的Jacobi迭代法收敛。事实上：

当|λ|≥1且λ≥1时，|cii|=|λ(aii+ωf1)ei-ωf1ei|(ωgt;0)。

λ≤-1时的情形与λ≥1类似，不再重复。……