几种非正常积分与极限的关系探讨

成凯歌 (浙江旅游职业学院社科部,浙江 杭州 311231)

几种非正常积分与极限的关系探讨

成凯歌 (浙江旅游职业学院社科部,浙江 杭州 311231)

非正常积分与极限的关系一直是数学分析这个领域的重要内容。在已有的研究成果基础上讨论了无穷限非正常积分敛散性与被积函数在无穷大处极限的关系、非正常积分与积分和的极限的关系、非正常积分与函数项级数和的极限的关系。

非正常积分；积分和；极限；函数项级数

无穷限非正常积分敛散性与被积函数在无穷大处极限的关系、非正常积分与积分和的极限的关系、非正常积分与函数项级数和的极限的关系是数学分析的重要课题之一，这一关系不仅进一步揭示了非正常积分的本质，同时为非正常积分的应用提供了更多的可能。关于它的研究已经得到了许多重要成果[1-7]。下面，笔者在已有的研究成果基础上进一步讨论了无穷限非正常积分敛散性与被积函数在无穷大处极限的关系、非正常积分与积分和的极限的关系、非正常积分与函数项级数和的极限的关系。

1 非正常积分的敛散性与被积函数在无穷大处极限的关系

如果f′(x)在[a,+∞]上有界,那么f(x)在[a,+∞)上必满足Lipschitz条件,因此由文献[2]可得如下结论。

由定理2可得：

2 非正常积分与积分和极限的关系

由文献[2]可得:

(1)

对∀n∈N+,根据积分的区间可加性有:

(2)

根据积分第二中值定理得到:

(3)

由式(2)和式(3)得:

因此：

(4)

由式(1)得:

所以:

结合式(2)即有:

于是：

3 积分与函数项级数和的极限关系