多扇图中保Wiener指数的树

王力工 樊稳茹，张 政,2

(1.西北工业大学应用数学系，中国 西安 710072；2.西安航空技术高等专科学校基础部，中国 西安 710077)

设G是一个连通的简单图，用V(G),E(G)分别表示图的顶点集和边集．图G的顶点数即阶数用n(G)表示．用d(v)表示图G的一个顶点v的度数.如果图G的一个顶点v的度数d(v)=1，则称顶点v为图G的一个悬挂点．图G的一个顶点v的距离是指图G的顶点v到其他所有顶点的距离之和，用dG(v)表示．用G1∪G2表示两个不相交的图G1和G2的并图．联图G1∨G2是指从并图G1∪G2中连接图G1的每个顶点和G2的每个顶点所得到的图．n个顶点的路、圈和星图分别用Pn,Cn和Sn表示．称联图P1∨Pn为n+1阶的扇形图，记为Fn．称联图P1∨(Pn1∪Pn2∪…∪Pnm)为n1+n2+…+nm+1阶多扇图，记为Fn1,n2,…,nm(见图1)．设图G是一个连通图，用dG(u,v)表示图G中顶点u和v的距离，即图G中顶点u和v之间的最短路上的边数．图G的Wiener指数就是指图G的任意两点的距离之和，即

(1)

(1)中的Wiener指数W(G)一般应用在化学中，它是化学图论中最重要的拓扑指数之一．1947年物理化学家Harold Wiener[1]首次研究了无圈分子图的Wiener指数，Hosoya在[2]中把Wiener指数定义为方程(1)的形式．Wiener指数自提出以后，便得到了广泛的研究，一系列的结果相继出现，有关结果参见文献[3～13]．

本文我们考虑文献[4]中提出的一个问题：给定一个连通图G,G中是否存在一棵子树T，使得W(G)=W(T)？很明显要求图G含有圈，并且T不一定是G的生成树．若存在图G中一个子树T，使得W(G)=W(T)，则称T为G的一个保Wiener指数的树．本文给出了多扇图Fn1,n2,…,nm=P1∨(Pn1∪Pn2∪…∪Pnm)中具有无穷多的保Wiener指数的子树，推广了徐幼专、徐立新[9]的结果．

1 相关定义和引理

定义1[7]令树T(n,k)表示一个具有n+k个顶点的似星……