弹头侵彻明胶的运动模型＊

刘 坤，吴志林，徐万和，莫根林

（南京理工大学机械工程学院，江苏 南京210094）

明胶作为创伤弹道研究中一种常见的肌肉组织模拟物，具有与肌肉组织非常相似的粘弹性性质，且均匀透明，可直接观察内部空腔变化，因此成为轻武器杀伤效能评估和创伤弹道研究的标准介质之一［1－3］。一些学者已对弹头侵彻明胶的运动模型展开研究。B.Janzon［4］提出一种基于弹头质心一维运动且忽略弹头旋进的简化运动模型；B.Kneubuehl等［5］和K.Sellier等［6］将弹头在明胶中运动简化为质心水平运动和绕心运动，且阻力系数CD和法向力系数CN为入射角的函数；N.Nestor［7］认为弹头在高密度均一介质中做平面运动，可将运动简化为质心的平动和绕质心的转动，且阻力系数CD和升力系数CL为攻角δ的函数。可见，现有研究均认为弹头在明胶中的攻角和偏角为同一概念，而区别这2个角度的模型未见报道。

本文中针对弹头在明胶中的运动特点，结合明胶力学性质，并考虑攻角和偏角的区别，力求建立弹头侵彻明胶较完善的二维运动模型（包括水平和垂直方向），为轻武器弹药设计提供理论参考。

1 理论模型

1.1 基本假设

弹头侵彻明胶时，发生失稳和翻滚，动能转化为明胶变形能等。根据现有研究可知［6］，弹头在明胶中运动过程如图1所示，可分为以下2个阶段：（1）“颈部”形成阶段，基本处于稳定飞行状态；（2）翻滚阶段，即偏角迅速增大阶段。

根据弹头在明胶中运动特点，建模前引入如下假设：（1）弹头为刚体，忽略变形与破碎；（2）忽略弹头旋转（陀螺效应）；（3）忽略弹头重力；（4）忽略平面外的偏航，认为弹头运动在包含轨迹的垂直平面内；（5）忽略科氏惯性力对弹头运动的影响；（6）明胶为不可压缩粘性流体。

1.2 运动模型

若弹头侵入明胶攻角δ≠0，弹头周围压力分布不对称，对其表面的压力分布积分得出的明胶作用力R1既不与弹轴平行也不与速度平行，且与弹轴相交于压力中心。如图2～3所示，若R1平移至弹头质心处，可等效为合力R与翻滚力矩M，R又可分解为速度反向的阻力D以及与速度垂直的升力L。可见，弹头在明胶中的运动由质心平动以及绕质心的转动组成。阻力D及升力L的大小可表示为［8－9］

式中：ρ为明胶密度，v为弹头速度，CD为阻力系数，CL为升力系数，A0为弹头特征面积（取弹头最大横截面积，A0＝

图2 小攻角入射时弹头受力情况Fig.2 Force diagram of the bullet penetrating the gelatin with the small attack angle

图3 翻滚阶段弹头受力情况Fig.3 Force diagram of the bullet tumbling phase

弹头在明胶中运动初始阶段，即形成空腔 “颈部”的阶段，可看作稳定飞行阶段，轨迹近似水平，速度为v≈xlx。弹头出枪口时速度方向近似为水平，基本处于稳定状态，如图2所示。此时，可忽略升力对弹头的影响，弹头运动方程为

Type: Vietnam. Transplant collected from Son La Province, Van Ho District, Tan Xuan Municipality, Cot Moc Village, at ca. 1000 m a.s.l. 20°40′33.3″N, 104°39′0.3″E, 10 Nov 2015, L. Averyanov, CPC 7158a,b /13279 (holotype, LE, not seen).

He wrote a book called Between a Rock and a Hard Place.（他写了一本名叫《进退两难》的书。）

2.习作板块设计。习作板块的设计多种多样，符合小学生的心理。据统计，人教版小学语文教材习作板块有图像的占31.2%（包括学习伙伴等图像），有例文的占6.2%，而既没有图像又没有例文的占56.2%。在教学中，习作教学这一专项是一大难题，出现师难教、生难写尴尬局面。习作板块的编排需要进一步完善，图片、例文、资料等可以增多一些，才能真正激发学生习作的兴趣。

式中：l为弹头长度，CM为翻滚力矩系数。CM＝CM0sinδ，其中CM0为常数，不同弹丸取值不同［6］。

翻滚力矩M 可表示为［8］

弹头侵入明胶后，有与明胶分离的现象，导致压力中心前移，偏角增大，模型中偏角变化体现为弹头绕其赤道轴的翻滚。此时，弹头迎胶面与背胶面间形成压力差；同时，因弹头被粘性流体包裹，表面存在阻碍其翻滚的摩擦力，上述两者的合力矩阻碍弹头翻滚运动，称为偏航阻尼力矩［8］

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1.2.1 “颈部”阶段运动模型

根据空气动力学原理，阻力系数CD为攻角δ的偶函数，阻力方向与δ的正负无关；升力方向与攻角δ的正负有关，所以升力系数CL是攻角δ的奇函数，在δ＝0°，90°时不存在升力，CD、CL可表示为［6－7］

1.2.2 翻滚阶段运动模型

若弹头偏角大于10°，认为“颈部”阶段结束［7］，根据牛顿第二定律和动量矩定理，运动由质心平动和绕质心的转动组成。

“颈部”阶段结束后，弹头速度方向发生变化，不再近似为水平，如图3所示。因此，弹头质心在平移运动中，阻力D和升力L在x、y方向上均存在分量，运动方程可表示为

式中：CD0为零攻角时阻力系数，C1为常数，CL0为常数，δ为攻角。

式中：CM为翻转力距系数；Czz为偏航阻尼力矩系数导数。绕弹头质心旋转运动可以表示为

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式中：Ib为弹头赤道转动惯量，T为弹头所受合力矩。

以弹头入靶时刻为计时起点，出靶时刻为计时终点。入靶速度为625.5m／s，初始攻角为1.5°，初始偏角为1.5°，弹头侵彻明胶运动过程如图5所示。

分析绕弹头质心旋转运动，根据动量矩定理，弹头围绕质心旋转运动方程为

式中：v2＝x2＋y2。

结合式（6）、（7）、（10），弹头在明胶中运动方程可描述为

2 实验验证与结果分析

2.1 实验方法

为验证运动模型合理性，进行步枪弹侵彻明胶靶标实验。实验采用7.62和5.8mm弹道枪作为平台，发射7.62和5.8mm普通弹各1发，共射击2发。弹丸具体参数如表1所示；明胶靶标（尺寸为300mm×300mm×300mm）含明胶10%，实验温度为4℃。采用3台高速摄像机进行拍摄，水平方向放置2台（其中1台用于拍摄明胶空腔），竖直方向放置1台（与水平方向高速摄像机配合测量攻角）。

夏日的夜晚，明净的月亮挂在天空，皎洁的月光洒在荷塘里，池面平静得如明镜一般，满塘月色。朵朵荷花挺立在水中央，池塘边传来阵阵虫鸣，蟋蟀愉快地叫着，蝈蝈欢快地开着“演唱会”，青蛙也随着美妙的乐曲声在水面荷叶上一蹦一跳，展现出优美的舞姿，打破了水面的平静。

在笋期结束后1周内，可对林地覆盖物进行清理运出，具体视天气情况而定。清理时先将砻糠、竹叶依次取出堆好，留作下半年再次覆盖。有机肥下层的竹叶及其腐烂物留在林地中，用锄头将上浮竹鞭清理干净，然后施入有机肥进行翻耕，机器翻耕或人工翻耕均可。

表1 弹丸参数Table 1 Parameters of bullet

实验原理及场景如图4所示，天幕靶置于距离靶标2m处测量入靶速度，靶标沿弹道方向置于综合靶架上，光幕和气体灯置于距离明胶侧1m处（气体灯置于光幕后），高速摄影相机置于距离明胶另一侧1.5m处，确保高速摄影相机镜头轴线与弹道在同一平面内，且与弹道方向垂直。

图4 实验装置示意图Fig.4 Schematic of experimental device

2.2 算例及模型实验

2.2.1 7.62mm 普通弹

随着生态文明纳入中国特色社会主义事业“五位一体”总体布局以及长江经济带等一系列重大战略的实施，国家对生态环境与经济社会的协调发展提出了更高的要求。

综上弹头所受合力矩T为

⑫Niessen，C．，Weseler，D．＆ Kostova，P．，“When and why do individuals craft their jobs?The role of individual motivation and work characteristics for job crafting”，Human Relations，2016，9(6)，pp．1287 ～1313．

他呆在学校搞毕业创作，内容是一个坐在钢琴前的女人，表情呆滞，形象有些变形，脖子很粗，略带马蒂斯、毕加索的画风，色调灰暗，题目却叫《我们的生活比蜜甜》。

图5 7.62mm普通弹侵彻明胶过程Fig.5 Process of 7.62mm bullet penetrating the gelatin

图6所示为x方向侵彻位移与时间关系曲线，由图6可知，弹头在靶标中运动的理论时间为654μs，实测时间为666.6μs。图7所示为y方向偏移与侵彻位移关系曲线，由图7可知，y方向位移理论最大值为12mm，实测值为20mm，则误差值为8mm。图8所示为速度与侵彻位移关系曲线，由图8可知，“颈部”阶段结束时速度理论值为523.755m／s，实测值为553.669m／s，且“颈部”阶段速度衰减较慢；出靶速度理论值为270.463m／s，实测值为306.644m／s，速度偏差为36.181m／s，相对误差为12%；图9所示为偏角与侵彻位移关系曲线，由图9可知，“颈部”阶段结束时，侵彻位移理论值为0.137m，实测值为0.147m；出靶偏角理论值为181°，实测值为195°。

图6 x方向侵彻位移时间关系曲线Fig.6 Relation between penetration depth in xdirectionand time

图7 y方向偏移与侵彻位移关系曲线Fig.7 Relation between drift in y direction and penetration depth

图8 速度与侵彻位移关系曲线Fig.8 Relation between velocity and penetration depth

图9 偏角与侵彻位移关系曲线Fig.9 Relation between yaw angle and penetration depth

图10所示为偏角随侵彻位移、时间变化曲线，图11所示为角速度、角加速度随时间变化曲线。由图10～11可知，侵彻位移为0.289m，偏角为154°时，角速度达到最大值11.66rad／ms；侵彻位移为0.235m，偏角为57°时，角加速度达到最大值40.99rad／ms2。

图10 偏角随侵彻位移和时间变化曲线Fig.10 Yaw angle varied with penetration depth and time

图11 角速度和角加速度随侵彻位移变化曲线Fig.11 Angular velocity and angular acceleration varied with penetration depth

2.2.2 5.8mm 普通弹

以弹头入靶时刻为计时起点，出靶时刻为计时终点；入靶速度为862.6m／s，初始攻角为1°，初始偏角为1.4°，弹头侵彻明胶运动过程如图12所示。

图12 5.8mm普通弹侵彻明胶过程Fig.12 Process of 5.8mm bullet penetrating the gelatin

图13所示为x方向侵彻位移时间关系曲线，由图13可知，弹头在靶标中运动的理论时间为500μs，实测时间为524μs。图14所示为y方向偏移侵彻位移关系曲线，由图14可知，y方向位移理论最大值为16mm，实测值为25mm，则偏差值为9mm。图15所示为速度与侵彻位移关系曲线，由图15可知，“颈部”阶段结束时速度理论值为745.018m／s，实测值为753.518m／s，且“颈部”阶段速度衰减较慢；出靶速度理论值为358.122m／s，实测值为320.864m／s，速度偏差为37.258m／s，相对误差为11.7%。图16所示为偏角侵彻位移关系曲线，由图16可知，“颈部”阶段结束时，侵彻位移理论值为0.12m，实测值为0.11m；出靶偏角理论值为235°，实测值为248°。

图13 x方向侵彻位移时间关系曲线Fig.13 Relation between penetration depth in xdirection and time

图14 y方向偏移与侵彻位移关系曲线Fig.14 Relation between drift in y direction and penetration depth

图15 速度与侵彻位移关系曲线Fig.15 Relation between velocity and penetration depth

图16 偏角与侵彻位移关系曲线Fig.16 Relation between yaw angle and penetration depth

图17所示为偏角随侵彻位移、时间变化曲线，图18所示为角速度、角加速度随时间变化曲线。由图17、18可知，侵彻位移为0.261m，偏角142°时，角速度达到最大值18.49rad／ms；侵彻位移为0.217m，偏角为57°时，角加速度达到最大值111.7rad／ms2。

图17 偏角随侵彻位移和时间变化曲线Fig.17 Yaw angle varied with penetration depth and time

图18 角速度和角加速度随侵彻位移变化曲线Fig.18 Angular velocity and angular acceleration varied with penetration depth

根据创伤弹道学理论可知，肌体致伤的决定性因素包括弹头初速及其在肌体中的翻滚能力。由图9、16和图5、12可知，5.8mm普通弹比7.62mm普通弹翻滚力矩更大，“颈部”长度较短，速度衰减较快，传递能量较大，形成空腔较大，致伤效果较好。

3 结 论

在实验基础上，建立包括水平和垂直方向弹头侵彻明胶的二维运动模型，以7.62mm普通弹和5.8mm普通弹为杀伤元，根据龙格－库塔法原理对运动模型进行数值计算，得出2种弹丸侵彻位移、y方向位移、速度、偏角、角速度及角加速度的变化规律；运动模型的理论值与实测值一致性较好，能够准确的描述弹头侵彻明胶的运动过程，可为弹药设计和战伤救治提供理论参考。

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［5］Kneubuehl B，Sellier K.Wound ballistics：A new understanding of the behavior of a bullet in a dense medium［C］∥Preceedings of the 13th International Symposium of Ballistics.Stockholm，1992.

［6］Sellier K，Kneubuehl B.Wound balllistics and the scientific background［M］.USA：Elsevier Science，1994.

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