四边简支层合板在剪切作用下的稳定分析

吕津灿 单鲁阳（浙江工业大学建筑工程学院，浙江 杭州310000）

由于复合材料的广泛应用，对复合材料的研究也越来越多。蒋咏秋、刘印章、张元冲、胥晓鹏、秦飞[2-4]等人采用离散型最小二乘配点法，把二次特征值转换为一次特征值，分析复合材料层合板的屈曲荷载及自振频率,再采用双五次B-样条函数来代替一般多项式得到了简便而高精度的计算屈曲荷载的方法。王列东[5]研究了复合材料层合板的初始缺陷和拉伸.弯曲祸合对于其振动、屈曲和非线性动力稳定性的影响，推导出非线性Mathieu 控制方程，并应用Galerkin 变分法求出控制方程。

但是国内对于FRP 板剪切屈曲荷载的研究还不是很多，利用能量法-伽辽金法，小挠度变性理论以及线性代数中的理论为背景，分析四边简支层合板剪切荷载下的弹性屈曲（图1）。把理论值与有限元得到的值进行对比，得到了在半波数≤3 时精度较高的四边简支层合板的剪切屈曲计算公式。对层合板在实际工程中的应用有一定的参考价值。

1 理论背景

1.1 层合板在小挠度理论下的平衡方程

其中： Dij是层合板的抗弯刚度；ω 为挠度；Nx,Ny是面内拉力；Nxy是纵向剪力。

1.2 伽辽金法

已知板的平衡偏微分方程为：

需假定符合板的几何与自然边界条件的挠曲面函数：

建立伽辽金方程组

上式经积分后可得到A1，A2，…，An的线性方程组，为得到它们的非零解，其系数行列式应为零，即为屈曲方程，由此得到屈曲荷载。

1.3 四边简支层合板的剪切屈曲

对于特殊正交各项异性层合板

用能量法求解剪切屈曲荷载时，板的挠曲面函数可用二重三角级数表示。今假定板的挠曲面函数为：

代入公式（2）可得

对于长宽比小于2 的矩形板，在一级近似中下标m,n,s,t,采用下列组合：

其中：

对长宽比在2-4 的矩形板，作二级近似解，取下列下标组合：

解得：

也与此书里面的二级近似解吻合，从而间接验证了公式的准确性。

针对长宽比不同的层合矩形板，在剪切作用下的屈曲理论解可归纳为：

表1 板几何尺寸

2 有限元计算

在使用伽辽金法推导层合板的屈曲荷载时只考虑了材料弹性阶段，所以在进行有限元分析的时候只要用特征值屈曲分析。

2.1 材料参数

本文选用了一组厚度均为0.64cm的矩形板，具体尺寸与材料见表1 和表2。

2.2 有限元模型建立

采用有限元ANSYS 软件进行计算，对于FRP 薄板的屈曲分析采用了SHELL93 单元。从计算结果中看出，在剪切屈曲过程中，每块板在斜对角方向形成半波，其中板1-3 形成了2 个半波（图2），板4 形成了3 个半波（图3）。

图2 2 个半波数板的变形云图

图3 3 个半波板的变形云图

2.3 数值计算结果与理论解对比分析

将材料1-4 分别代入理论公式（5）和（6）并与数值分析结果进行比较（表3，结果吻合较好，并由结果看出，理论解更适合长宽相近的矩形板，在长宽比为1 时，误差在1%内，随着长宽比增大，理论解误差增大。当a/b 不大于2 时用公式（5）计算，a/b 大于2 时用公式（6）计算，但是当长宽比大于4 时，已经不适合此理论模型。

表2 材料参数

表3 材料的理论值与有限元值的误差分析

3 结语

应用伽辽金法对四边简支层合板在纯剪作用下的屈曲进行了理论和数值计算，初步得到以下结论:

1）随着长宽比a/b 的增大，四边简支层合板在纯剪作用下的屈曲极限值逐渐变小；

2）研究所提出的理论解在一定范围内（长宽比小于4）与数值分析结果吻合较好，对于长宽比大于4 的矩形板还应提出更为合适的新的屈曲方程。

3）研究所得理论公式对实际工程有一定的参考价值，并在一定程度上丰富了复合材料层合板屈曲公式的理论研究。

[1]蒋咏秋、张元冲、胥晓鹏 用加权残数法分析纤维增强复合材料层合板的屈曲及自振率[J] 计算结构力学及其应用 1986,3(4)

[2]蒋咏秋、刘印章 纤维增强复合材料层合板的屈曲荷载[J] 西安工业学院学报 1986,(3):1-14

[3]蒋咏秋、秦飞用 样条元分析纤维增强复合材料层合中厚板的弯曲[J] 西安工业学院学报 1987,(3)

[4]王列东，刘正宁，周承调，初始缺陷和拉-弯耦合对于叠层板的振动、屈曲和非线性动力稳定性的影响[J]应用数学和力学，1999,20(5):477-485.

[5]王克林、刘俊卿、赵冬 平板的弯曲、振动和屈曲[M].北京:冶金工业出版社.2006:77-78

[6]陈骥 钢结构稳定理论与设计[M]. 北京:科学出版社.2011:400-419