0是质数还是合数？

李明亮

【摘要】按所含的因数（约数）的个数来分类，自然数可以三类——①质数；②合数；③不是质数，也不是合数。在这种分类方法下，1和。都应归入“不是质数，也不是合数”之列。因为。是一个特殊的自然数，“为了方便”，小学数学教科书把。限制在了“因数和倍数”的学习内容之外。但是，在讨论一些具体问题时，只依据“1不是质数，也不是合数”就把。排除，就可能违反同一律。

【关键词】自然数；分类；质数；合数；同一律

0是一个特殊的自然数。

在我国，1993年才给0在“自然数家族”上“户口”。而在我国的小学数学教科书中，直到2002年，“自然数家族”中才有0的“地位”。但是，0刚刚取得的这个“合法地位”却时常受到侵犯。

例如，有的教辅用书中，自然数至今还忽而包括0，忽而又不包括0。

小学数学中，自然数的分类方法有两种。一是按能否被2整除来分——可分为偶数（能被2整除）和奇数（不能被2整除）——在这种分类方法下，0是偶数，这是没有疑义的，并且在小学数学教科书中有明确的叙述。二是按所含因数（约数）的个数来分——可分为三类，即：①质数（只有1和它本身两个因数），②合数（含有三个及三个以上的有限个因数），③不是质数，也不是合数——在这种分类方法下，0的归属就不那么清晰了。在现行小学数学教科书（如冀教版四年级上册、人教版五年级下册）中，给“质数…‘合数”下了定义之后，又补充了一句：“1不是质数，也不是合数”，而没有提到0。那么，0应该归入哪一类呢？

因为0有无数个因数（约数），所以它不是质数；但把0归入合数，它又无法分解质因数（如果非要把0分解质因数，则它的“质因数”又必须包含0本身，并且有无数种分解方法），所以0也不是合数。所以，应该把0归入“不是质数，也不是合数”之列。

可在小学数学教科书中，为什么没有明确地给0一个“地位”呢？原因可能有二：一是对旧教科书的沿袭；二是为了方便，把0限制在了“因数和倍数”的学习内容之外。如，在人教版《数学》五年级下册的“因数与倍数”单元中，有一句“注意：为了方便，在研究因数与倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。”冀教版数学教科书中虽然没有这样的话，但也是同样的原因，把0限制在了“因数和倍数”的学习内容之外的。

顺便说一句，数学的分支“数论”中的因数也是不包括0的（数论中的“因数”与乘法中的“因数”在意义上是有区别的）；《数学课程标准（实验稿）》的“内容标准”指出：“在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数”（《数学课程标准（2011年版）》的规定与此完全相同），也没有提到0。

为什么要把0限制在“因数和倍数”的学习内容之外呢？这是因为0是一个十分特殊的自然数：①0有无数个因数（约数），能被任何非0自然数整除，没有最大的因数，但0不能做因数（约数）——这与“一个数的因数的个数是有限的，其中最大的因数是它本身”相矛盾。②任何一个非。自然数的最小倍数都是0，又与“一个数的最小倍数是它本身”相矛盾。③任何几个数的最小公倍数都是0，求几个数的最小公倍数也就没有意义了。……这样，在研究因数和倍数时，0在其中会使学生感到很不方便。所以，在学习这部分内容时，把0限制在外是必要的。

但是，这一限制并没有否定“0是自然数”这一事实。其实，这一限制恰好说明质数、合数都不包括0。所以我认为，在对自然数进行分类时，不应该忘记给。安排“一席之地”——不是质数，也不是合数。即使教科书上没有说，教师在教学中做这么一点补充，让学生对此有一个明确的认识，也是必要的。当然，提出“0是质数还是合数”之类的问题，让学生讨论更好（相信学生能讨论出结果）。

对于这个问题，能不能做模糊处理（回避“0是质数还是合数”的问题）呢？我认为不妥。当然，在不包括0的情况下研究质数与合数，仍在不包括0的情况下应用这两个概念，是没有问题的。但是，在不包括。的情况下研究质数与合数，而在包括。的情况下应用这两个概念，就可能出现逻辑错误。请看下面的例子。

在冀教版《数学·四年级上册》的第95页，第7题是“破译电话号码”。电话机上显示的号码是ABCDEFG——“A：10以内最大的质数。……G：既不是质数，也不是合数。”答案是7235491。在这里，我们来讨论与其有关的两个问题。

1.把“1不是质数，也不是合数”理解成“不是质数，也不是合数的数是1”，是不是正确呢？答案是否定的，因为逆命题与原命题不是等价命题，互为逆否的命题才是等价命题。

2.上面这个问题是不是只有7235491这一个正确答案呢？

如果想让这个问题只有这一个正确答案，那么就需要先限定电话号码中没有0。如果不这么限定，那就需要对0进行讨论——“0是质数还是合数”，因为质数、合数都不包括0，所以讨论的结果就是有两个正确答案——7235491和7235490。如果不限定电话号码中没有0，而又不考虑“0是质数还是合数”，那么就违反了同一律。因为同一律要求我们，在进行论断和推理过程中，每一个概念都应该在同一的意义上来使用——在没有。的情况下研究质数与合数，就应该在没有。的情况下应用质数与合数的概念。

还有，在一些教辅用书和试卷上，常出现猜多位数的题，其中常见的一句话就是某一数位上的数“不是质数，也不是合数”，而给出的“标准答案”也只有一个——这一位上是1。这也是把“1不是质数，也不是合数”当作“不是质数，也不是合数的数是1”来推理的，同时也存在违反同一律的逻辑错误。

避免此类逻辑错误的方法就是，要么给0一个位置，要么别提出此类问题（如上述猜多位数的问题）。