基于相对运动理论的球度误差矩阵寻优算法

徐永祥，崔昭霞，韩峰，刘珍

（内蒙古工业大学机械学院，内蒙古呼和浩特 010051）

基于相对运动理论的球度误差矩阵寻优算法

徐永祥，崔昭霞，韩峰，刘珍

（内蒙古工业大学机械学院，内蒙古呼和浩特 010051）

针对目前球度误差计算多采用复杂寻优算法的现状，根据球度误差最小包容区域的特点，给出球度误差计算的目标函数，提出一种简化的球度误差矩阵寻优算法。依据相对运动理论，将拟合球面的球心设定在三维直角坐标系的原点上，利用矩阵变换整体平移被测球面上各测点，使之快速趋近于球度误差最小包容区域的目标位置。实例证明该方法具有易于使用和快速高效的特点。该思想同样适用于其他形状误差的评定计算，为形状误差的统一求解提供一种新思路。

球度误差；矩阵变换；拟合球面；最小包容区域

0 引言

球面等二次曲面是工业产品的主要组成部分，其形状误差将直接影响工件的配合特性与使用效果。根据国际标准ISO1101和国家标准[1]对形状误差的定义可知，球度误差是指被测提取球面对其拟合球面的变动量，拟合球面的位置应符合最小条件[2-3]，即被测提取球面相对其拟合球面的最大变动量为最小，该变动范围即为球度误差的最小包容区域。

求解形状误差的目标函数是多维非线性的，故无法直接计算[4]。基于形状误差目标函数的单谷性证明[5]，采用对拟合要素目标位置的寻优逼近成为计算形状误差的最佳选择。由形状误差定义，采取最小包容区域法评定球度误差时，其值应为包容被测球面的两同心拟合球面的最小半径差，则计算球度误差的主要工作归结为寻找拟合球面球心的过程[4，6-8]。因拟合包容球面与提取球面相接，则球度误差的计算公式为

其中，ri为被测提取球面上各测点到拟合球面球心的距离，其计算公式为

式中：xi，yi，zi——第i个测点的坐标；

x0′，y0′，z0′——拟合球面球心坐标。

依据相对运动理论，将以上寻优过程转化为固定拟合球面而移动被测提取球面使其逐步逼近最小包容区域目标位置的寻优过程。将拟合球面球心设定在加工坐标系原点，使拟合球心与加工中心及测量中心重合，便于实现球度误差的在线测量，并将球度误差的计算公式简化为极径（测点到坐标原点）的差值。借助矩阵变换公式，可实现被测提取球面上各测点坐标变换的整体计算，从而极大地简化了计算过程。依此所得各测点最终坐标为加工球面的在线修磨提供了参考，并且该思想同样适用于其他形状误差的计算。

1 球度误差矩阵寻优算法的数学描述

利用相对运动理论的矩阵寻优法计算球度误差的过程可简述如下：

（1）拟合球面位置的设定；

（2）提取球面的数学建模；

（3）提取球面目标位置的寻优逼近；

（4）球度误差的计算。

由球度误差定义可知，球度误差的最小包容区域位置由拟合球面的位置决定，球度误差值则由提取球上各测点到拟合球面的垂直距离决定，因此拟合球面位置的设定将直接影响寻优的目标位置和球度误差计算公式的复杂程度。

1.1 拟合球面位置的设定

为与测量坐标系相统一，并简化球度误差的计算公式，将球度的拟合球面的球心设定在三维直角坐标系的原点，如图1所示。

图1 球度误差最小包容区域示意图

使提取球面上各测点构成的刚体沿坐标轴x、y、z方向平移，总能找到球度最小包容区域所在位置，则球度误差值即为在该位置时各极径（测点到原点距离）最大值与最小值的代数差。

1.2 提取球面的数学表达

被测提取球面可用三维空间的有限个测点的集合表示为{pi（xi，yi，zi）|i=1，2，…，m}，则其各点坐标的集合可用矩阵表达为

式中：xm，ym，zm——第m个测点的坐标值。

1.3 坐标变换与误差计算公式

分析球度误差的最小包容区域可知，通过将实测提取球面上各测点整体沿x轴、y轴及z轴平移，总能找到球度误差最小包容区域的理想位置。为实现空间坐标矩阵变换公式的统一，采用增加一个维度的齐次坐标矩阵进行计算。设各测点平移后的坐标矩阵为S′，则各测点的坐标变换过程可表达为

平移矩阵；

Δl——平移步长，为正时沿坐标轴正向平移，为负时沿坐标轴负向平移。

由于将球度误差的拟合球面球心设定在了三维坐标系原点，所以各测点到拟合球面球心的距离由式（2）简化为

而球度误差的计算公式仍为式（1）。

此时，ri为由式（5）计算所得的各测点坐标变换后的极径，其中i＝1，2，…，m。

1.4 寻优过程的实现

虽然球度误差的最小包容区域唯一存在，但其具体位置不可知，所以矩阵的变换量未知，因此无法直接计算。通过设定矩阵变换的最小步长，使实际提取球面逐步变换以逼近目标位置，从而得到球度误差的最佳近似值，具体过程描述如下。

图2 球度误差计算流程图

给定一个合适的平移步长Δl，按式（5）和式（1）计算初始位置的球度误差值δ0，使各测点沿x轴、y轴及z轴以步长Δl逐步平移逼近目标位置，每次平移后按式（5）和式（1）计算新的平面度误差值δi，i为有效平移次数。当δi＜δi-1时，继续下一步平移，直到δi＞δi-1时停止，则最后的δi-1即为平面度误差的最佳逼近值。其流程如图2所示。

显然，球度误差的精度取决于搜索步长的大小，步长越小精度越高。为提高逼近的速度，可设定一个较大的初始步长Δl，利用二分法快速逼近目标位置，停止条件为δi-1-δi＜A，A为设定的球度误差的最小步进量。

2 计算实例

基于以上数学模型及寻优方法，利用Matlab编制了球度误差的计算程序。利用该程序对同一组球面测量数据进行了计算，表1为参考文献[4]的球面测量数据，测点数24个。

表1 球面测量数据

表2为步长初值为1mm时，分别采用4种不同精度要求下对球度误差的计算结果。程序的运行结果表明，在设定最小误差步进量的前提下采用步长二分法进行逼近计算，具有极高的效率。

表2 不同步进量下计算结果

需要指出的是，为表明程序搜索过程，表2中结果保留了较多的小数位数。由表1数据计算的球度误差初值为0.016826mm，由表2搜索结果与初值相比较可以看出，文献[4]所给数据的测量中心已经非常靠近拟合球心。由测量数据的有效位数可知测量仪器的最小分辨力为0.001mm，根据误差理论，最终计算结果应与测量数据精度位数相同，并且为保证评定的可靠性，数据舍入规则采取只进不舍的原则，故初始位置的球度误差可信赖值为0.017mm，与文献[4]中所给结果相同。表2中不同搜索精度下的球度误差最终可信赖值均为0.016mm，可见采用本方法计算本组数据时具有极高的效率，有效搜索2步时结果即已达到足够的精度要求。

同理，用本方法程序对文献[6]所给测量数据进行计算，最终可信赖结果为0.008mm，与文献[6]所给结果相同。用本方法程序对文献[7]所给测量数据进行计算，最终可信赖结果为3.338mm，比文献[7]中所给结果3.352mm更小。

利用不同测量数据计算的球度误差结果比较情况如表3所示。

表3 不同测量数据球度误差计算结果比较

3 结束语

通过将拟合球面球心设定在三维直角坐标系坐标原点，便于实现在线测量并简化了球度误差的计算过程；利用相对运动理论通过变换实测点刚体寻找目标位置，实现了数据点的整体矩阵计算，特别适合于Matlab编程实现。实例证明，基于刚体移动的球度误差计算方法具有简便、快速、准确的特性，其原理符合球度误差最小包容区域的几何定义，易于理解便于实现，并为常见形状误差的统一计算提供了一种新的思路。

[1]GB/T 1958—2004产品几何量技术规范（GPS）形状和位置公差检测规定[S].北京：中国标准出版社，2004.

[2]GB/T 1182—1996形状和位置公差通则、定义、符号和图样表示法[S].北京：中国标准出版社，1997.

[3]ISO 1101：2004（E）Geometrical Product Specifications（GPS）-Geometrical tolerancing-Tolerances of form，orientation，location and run-out[S].

[4]廖平.基于遗传算法的形状误差计算研究[D].长沙：中南大学，2002.

[5]郑鹏，张林娜.形状误差目标函数单谷性的分析与研究[J].计量与测试技术，2007，34（11）：16-18.

[6]温秀兰.进化计算应用计量测试技术的理论研究[D].南京：东南大学，2004.

[7]崔长彩，东仁生，叶东，等.基于遗传算法的球度误差评定[J].光学精密工程，2002，10（4）：333-339.

[8]Cui C C，Fu S W，Huang F G.Research on the uncertainties from different form error evaluation methods by CMM sampling[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43（8）：136-145.

M atrix optim ization method for calculating sphericity error base on relative motion theory

XU Yong-xiang，CUI Zhao-xia，HAN Feng，LIU Zhen
（Mechanical College，Inner Mongolia University of Technology，Huhhot 010051，China）

For resolving the problem that the sphericity errors are calculated mostly with complex optimization algorithms，a simplified matrix optimization method for calculating the sphericity error was proposed.Its objective function of calculating the sphericity error was given according to the features of sphericity error minimum zone.According to the relative motion theory，firstly，the center of fitting sphere was set on the coordinate origin of 3D rectangular coordinates.Then，all measuring points on the sphere to be measured were translated through appropriate matrix transformations.At last，the algorithm makes it rapidly tend to the objective location of sphericity error minimum zone.It is proved by actual measurements that the method is simple and efficient. This method also can be used to calculate other form errors and it provides a new and unified way for calculating form errors.

sphericity error；matrix transformation；fitting sphere；minimum zone

TG8；TB92；TH161+.12；TM930.115

A

1674-5124（2013）03-0017-03

2012-05-10；

：2012-07-08

内蒙古自治区科技攻关计划项目（20091505）

徐永祥（1972-），男，内蒙古呼和浩特市人，讲师，硕士，研究方向为计量检测与误差分析。