☉湖北省大冶一中 胡晓臻 刘先进
涉及三角形的不等式有很多,许多笔者对它的研究也很透彻,本文借几道竞赛题来谈谈换元法在三角形不等式证明中的应用.
设a,b,c是△ABC的三边,证明相关不等式的过程中常作这样的一个代换:a=y+z,b=z+x,c=x+y,这里x、y、z是有具体意义的,如图所示,一圆内切于△ABC,切点为D、E、F,不妨设AE=AD=x,BD=BF=y,CF=CE=z,作这样的代换后的结论有:
下面以几道竞赛题来说明此法的应用.
例1(费-哈不等式)在△ABC中,求证:
a2+b2+c2≥4S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2.
解析:令c=x+y,a=y+z,b=z+x,x、y、z均为正数.
原不等式即为:
此式由均值不等式易证.
例2(第26届IMO的加强)△ABC中,求证:
解析:设a=y+z,b=z+x,c=x+y,x、y、z都是正数.
此式易证.
例3证明欧拉不等式:
三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,求证:
R≥2r.
解析:设三角形的三边长为a、b、c,令a=y+z,b=z+x,c=x+y.
即证.
运用上述换元法,我们可以看出,将三角不等式等价转化成对称性很好的不等式,就可以利用基本不等式来进行证明了.
换元法不仅适用于竞赛中的三角不等式,对一些平时常见的三角形不等式仍然适用.下面提供一些常见的不等式,均可以采用本文的方法进行证明.
1.设a、b、c为△ABC的三边,求证:
abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
2.设a、b、c为△ABC的三边,求证:
a(2b+c-a)+b(2c+a-b)+c(2a+b-c)≤3abc.
3.设a、b、c为△ABC的三边,求证:
4.△ABC中,若a+b+c=1,求证: