拓扑平带上的分数量子反常霍尔效应(一)*

王一飞，龚昌德，2

(1.浙江师范大学海峡两岸统计物理与凝聚态理论研究中心，浙江金华 321004;2.南京大学固体微结构国家重点实验室，江苏南京 210093)

本文是该综述介绍的第1部分，主要内容为:领域概况;模型哈密顿量与拓扑平带;玻色子分数量子反常霍尔效应;非阿贝尔型量子反常霍尔效应.

1 领域概况

量子霍尔效应(QHE)是凝聚态物理中的重要研究领域之一.1980年整数量子霍尔效应(IQHE)实验［1］、1982年分数量子霍尔效应(FQHE)实验［2］及1983年分数量子霍尔效应理论［3］都获得过物理学诺贝尔奖.时至今日，量子霍尔效应，尤其是考虑强关联效应的分数量子霍尔效应［3-8］，依然是凝聚态物理最前沿、最热门的研究领域之一.迄今为止，只有在强磁场与极低温下的二维电子气(半导体异质结和最近的单层石墨烯)中观测到该效应［2］.1983年，Laughlin［3］提出的波函数被认为是对这类朗道能级上连续型分数量子霍尔效应的最好理论描述.1988年，凝聚态物理领域领军人物Haldane［9］提出了一个时间反演对称破缺的晶格模型.Haldane模型定义在二维蜂窝(honeycomb)晶格中，其两支能带具有拓扑性质，当低能带被电子整数完全填充、高能带完全未占据时，得到晶格型的、无朗道能级的整数量子霍尔态.该量子反常霍尔(quantum anomalous Hall，简称QAH)态由非零的陈数(Chern number)［10］C=±1来标记，而常规的绝缘态的陈数C=0.这些态之间的相变是典型的拓扑量子相变.Haldane模型作为拓扑绝缘体的原始能带模型，其应用已经拓展到量子自旋霍尔效应、单层石墨烯、三维拓扑绝缘体、量子自旋液体、光晶格人工规范场、光子晶体单向波导等多个前沿领域.最近在国际凝聚态物理学界引起了极大关注，拓扑能带中的强关联效应更是成了备受关注的重要问题，可以期待无朗道能级的分数量子霍尔效应.但由于Haldane模型中能谱的高度色散，引入粒子间相互作用并使粒子分数填充能带后，并没有相应的分数量子霍尔效应.

最近，通过对拓扑平带［11-13］上强关联相互作用的费米子和玻色子晶格体系的系统数值进行研究，包括笔者在内的几个研究组共同发现了一类新奇的阿贝尔型分数量子霍尔效应［14-16］和非阿贝尔型量子霍尔效应［17-19］.拓扑平带模型［11-13］属于Haldane模型的扩展版本，至少有一个能带具有非平庸的拓扑性质，即有非零的陈数(Chern number)C=1;而且该能带的带宽很窄，且与其他能带间有较大能隙.新发现的分数量子霍尔效应［14-19］不同于传统朗道能级上的连续型分数量子霍尔效应，无须均匀强磁场，有较大特征能隙，可在较高温度下存在，不能用常规Laughlin波函数描述［14-23］.在环面形结构上，该分数量子霍尔态有奇数或偶数个准简并的基态.这些基态与高能激发态之间有较大的能隙.其中我们发现的玻色子体系晶格型的分数量子霍尔效应［15，17］，不同于常规电子的费米子体系，可以看作等效自旋模型中的手征自旋态.该手征自旋态的概念于1987年、1989年分别被文献［24］与文献［25］提出，但是长期以来没有现实的模型来实现.最近的研究给出了该手征自旋态存在于拓扑平带模型中的数值证据.拓扑平带上的非阿贝尔型量子霍尔效应［17-19］与著名的Moore-Read态［7］有类似的拓扑性质.该效应相比于阿贝尔型分数量子霍尔效应，有更加奇特的性质，比如基态的异常拓扑简并度以及异常分数统计，有可能应用于未来的拓扑量子计算.这些研究工作也为在冷原子光晶格体系中观测非阿贝尔型量子霍尔效应和分数统计提供了新的途径.这些无朗道能级的分数化现象，定义了一类新的分数拓扑相，或称为分数陈绝缘体(fractional Chern insulator，简称FCI)，其中的分数量子霍尔效应也称为分数量子反常霍尔(fractional quantum anomalous Hall，简称 FQAH)效应.

该领域在近期引起了国际凝聚态物理学界的研究热情与广泛关注.一些新的研究手段，例如基于Wannier表象的模型波函数和赝势法［20-21］、投影密度算符代数［22-23］、部分子(parton)波函数构造［26-27］等方法被快速发展起来，以进一步理解这些分数量子反常霍尔态(FCI/FQAH).多个研究组提出了其他的拓扑平带模型以及材料实现方案［28-39］.最近的系统数值研究又发现了高陈数(C≥2)拓扑平带上的分数量子反常霍尔态［40-42］(这些FCI/FQAH态没有朗道能级上的直接对应).

2 模型哈密顿量与拓扑平带

图1所示为2个典型拓扑平带模型，箭头表示次近邻或最近邻跳跃积分中相位±φ的符号.对于棋盘格子，沿实线(短虚线)的次近邻跳跃积分为t'，次次近邻跳跃积分由长虚线表示.

图1 典型拓扑平带模型

蜂窝(HC)格子上填充相互左右硬核玻色子的Haldane模型为

另一个模型类似于Haldane模型，定义在棋盘(checkerboard，简称CB)格子上［12］:

在数值严格对角化(ED)研究中，考虑有N1×N2个元胞的有限格子(格点总数为NS=2×N1×N2)，格子基矢如图1所示.采用周期性边界条件(PBC)，利用晶格的平移对称性，Hilbert空间尺寸大约缩小为原来的1/(N1N2).记玻色子数为Nb，拓扑平带上的填充数为υ=Nb/(N1N2)，|t|作为能量单位.

拓扑平带模型［11-13］属于Haldane模型的扩展版本，至少有一个能带具有非平庸的拓扑性质，即有非零的陈数(Chern number)C=1;而且该能带的带宽很窄，且与其他能带间有较大能隙.对于蜂窝格子Haldane模型，如果只允许最近邻和次近邻跳跃积分，平坦率(flatness ratio)至多只有7［13］;如果允许次次近邻跳跃积分，则可以通过在参数空间的数值搜索，发现一大类具有非零陈数的拓扑平带.例如平坦率为50 的拓扑平带的参数如下［15］:t=1，t'=0.60，t″=-0.58，φ =0.4π .对于棋盘格子，可以得到平坦率为30的拓扑平带［12］，采用参数如

图2为蜂窝格子Haldane模型的典型拓扑平带［15］，分别用细线与粗线表示圆柱几何结构上能带的体态与边界态.

图2 蜂窝格子Haldane模型的典型拓扑平带［15］

3 玻色子分数量子反常霍尔效应

我们研究了拓扑平带上强关联相互作用的玻色子体系［15］，并发现了一类新奇的晶格型的FQHE:1/2玻色型FQHE、1/4玻色型FQHE.图3为1/2玻色子填充的量子相图［15］，FQHE、SF、SS1/SS2分别表示分数量子反常霍尔态、超流相、超固体相.该类效应不同于传统朗道能级上的连续型FQHE，无须均匀强磁场，有较大特征能隙，可在较高温度下存在，不能用常规Laughlin波函数描述.基于对著名的Haldane模型的扩展，提出一个典型的拓扑平带模型［15］.在拓扑平带模型中，考虑短程相互作用的硬核玻色子体系，通过大量数值计算和系统理论分析，发现了晶格型FQHE的有力证据.在环面形结构上，该分数量子反常霍尔态有偶数个准简并的基态;这些准简并基态共享一个量子化的陈数;这些基态与高能激发态之间有较大的能隙.同时文献［15］给出了拓扑平带上半满填充的量子相图，并阐明了从分数量子反常霍尔态到其他对称破缺相的量子相变.该玻色子体系晶格型的FQHE，来源于硬核玻色子的强关联效应(不同于常规电子或费米子体系中的库仑相互作用)，可以看作等效自旋模型中的手征自旋态.该手征自旋态的概念于1987年、1989年分别被文献［24］与文献［25］提出，但是长期以来没有现实的模型来实现.而笔者的研究将从另一方面给出该手征自旋态存在于拓扑平带模型中的数值证据.

图3 1/2玻色子填充的量子相图［15］

1)υ=1/2填充的相图.首先看一下2个24格点(2×4×3)的格子在υ=1/2填充的能隙，见图3(a)和图3(b).E1，E2，E3表示3个最低能量本征态.对于图3(a)和图3(b)的V1-V2参数空间中左下角的υ=1/2 FQHE相，有一个两重准简并的基态组(ground-state manifold，简称GSM).此基态组与较高本征态之间有较大能隙E3-E2≫E2-E1.其他区域大致标出了可能的超流相(SF)，超固体相(SS1/SS2)以及固体相.我们也从较大的32(2×4×4)、36(2×6×3)、40(2×4×5)格点的格子上得到大量数值结果(关于FQHE部分结果见图4)，验证此相图在定性上是大致正确的.

图4 1/2-FQHE能隙随格点数的变化［15］

2)最低能谱和能隙.动量矢量标记为q=(2πk1/N1，2πk2/N2)，其中(k1，k2)是整数量子数.定义准简并的基态组为一组与高能激发态之间有较大稳定能隙的最低能量态.对于1/2分数量子反常霍尔效应，基态组中有2个准简并的基态.如果(k1，k2)是基态组中1个基态的动量分区，那么另一个基态必定在动量分区(k1+Nb，k2+Nb［mod(N1，N2)］)中.对于 Ns=24，36，40 格点，υ =1/2 FCI/FQAH 相的 2 个准简并基态在2个不同动量分区:对于Ns=24和Ns=40格子，准简并基态在(0，0)，(2，0)分区;对于Ns=36格子，准简并基态在(0，0)和(3，0)分区.而对于Ns=32格点，因为Nb/N1和Nb/N2都是整数，因此，2个准简并的基态都在(0，0)动量分区.图5为基态组拓扑演化与Berry曲率，图5(a)和(b)为固定θ2=0，υ=1/2填充的蜂窝格子的最低能谱随θ1的演化;图5(c)为Ns=32格点蜂窝格子，10×10边界相位网格上的 Berry曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π).

图5 基态组拓扑演化与Berry曲率

3)Berry曲率和多体陈数计算.在周期性边界条件的2个方向引入边界相位θ1和θ2，量子多体态的陈数［10］(相应的Berry相位2πC)由边界相位空间的积分得到［43-44］:

对于Ns=24，36，40格子，准简并基态组中的2个基态处于不同动量分区，当调节边界相位时，2个基态相互演化并能级交叉，但与低能激发态之间一直保持较大的特征能隙，见图5(a).而对于Ns=32格子，准简并基态组中的2个基态都在(0，0)动量分区;当调节边界相位时，每个基态演化到自身而避免了能级交叉，见图5(b).对于2个基态处于不同动量分区的情形，数值计算发现每个基态几乎精确贡献了π的Berry相位，即总的陈数为C=1，见图5(c)，平均每个基态有1/2的分数化陈数.而对于2个基态处于相同动量分区的情形，数值计算发现其中1个基态贡献了2π的Berry相位，另一个贡献的Berry相为零，而总的陈数也为C=1，平均每个基态分到1/2的分数化陈数.

4)υ=1/4分数量子反常霍尔态.对于棋盘格子，我们也发现了υ=1/4填充的分数量子反常霍尔态.与υ=1/2分数量子反常霍尔态不同，υ=1/4分数量子反常霍尔态需要有限大小的最近邻或次近邻相互作用V1或V2.笔者给出一些Ns=40格点的结果，见图6(a)，每个基态组由4个准简并基态组成.4个基态处于不同动量分区，当调节边界相位时，4个基态相互演化并能级交叉，但与低能激发态之间一直保持较大的特征能隙，见图6(b).对于4个基态处于不同动量分区的情形，数值计算发现每个基态几乎精确贡献了π/2的Berry相位，即总的陈数为C=1，平均每个基态分到1/4的分数化陈数.

图6 棋盘格子上的υ=1/4分数量子反常霍尔态

4 非阿贝尔型量子反常霍尔效应

近期，对于具有拓扑平带的扩展Haldane模型［15］，笔者研究了在其中填充强关联相互作用的三体硬核玻色子(three-body hard-core boson)，发现了拓扑平带上的非阿贝尔型(non-Abelian)量子霍尔效应［17］.该晶格型的非阿贝尔量子霍尔效应有着特征的三重基态拓扑简并度、量子化的陈数、较大的特征能隙、特征的准空穴激发谱、拓扑简并度的粒子数奇偶效应.笔者发现的玻色子非阿贝尔量子霍尔效应与朗道能级5/2填充的Moore-Read态［7-8］有类似的拓扑性质.相比而言，二维电子气中的费米型的Moore-Read态的图像至今还没有完全确立，数值计算和理论分析之间仍有一些分歧和争议.笔者的精确数值结果预言了玻色子非阿贝尔量子霍尔态存在于拓扑平带中，而且给出了其拓扑简并度、拓扑稳定性和分数统计的关键确凿证据.该效应相比于阿贝尔型FQHE有更加奇特的性质，比如基态的异常拓扑简并度及异常分数统计，有可能应用于未来的拓扑量子计算.本研究工作为在冷原子光晶格体系中观测非阿贝尔型量子霍尔效应和分数统计提供了新的途径.鉴于玻色自由度到自旋自由度的映射，这个发现也给出了一种新型非阿贝尔手征自旋态的令人信服的证据.

1)三体硬核玻色子模型.笔者研究相互作用玻色子的拓扑平带Haldane模型［9，15］:

2)U-V参数空间相图.首先看一下Ns=20格点数的格子在υ=1填充的能隙图，如图7所示，此处E1，E2，E3，E4表示最低的4 个能量本征值.从3 个能隙(E4-E3，E2-E1，E3-E2)图中可以获得相当丰富的关于可能量子态和相图的信息.对于υ=1非阿贝尔量子反常霍尔态(NA-QHE)，2个必要条件为:有1个3重准简并的基态组(GSM)(E3-E1～0)，而且与高能量本征态间有一个较大的能隙E4-E3≫E3-E1.由图7可以看出，这2个条件在U-V空间的左下角区域同时满足.右下角区域的特征是较大的E2-E1能隙，而较小E3-E2的能隙是一种可能的整数量子霍尔态(标记为QHE*，随后将进一步讨论).而对于上面的较大V的区域，能量差E2-E1几乎消失，而出现了一个较大E3-E2的能隙，暗示着2重准简并基态;这些特征和双子格固体序一致;进而，调节边界相位时，2个低能态演化到较高能谱，表明其在“固体”特征外的“金属”特征，我们称该相为超固体相(SS).对于较大的Ns=24格子，我们也得到了较一致的结果.

图7 U-V参数空间的能隙图

3)最低能谱和能隙.笔者在Ns=20，24，28的格子中都观测到非阿贝尔量子反常霍尔态的三重准简并基态组，而且特征能隙E4-E3都比较大.对于我们研究的3个尺寸，3重准简并基态组中有2个(能量非常接近)基态处于(k1，k2)=(0，0)动量分区.对于格点数为Ns=28的格子，用动量划分的Hilbert子空间大小约为7×108(基本上是目前ED方法的极限)，具体见图8.

4)Berry曲率和多体陈数.对于非阿贝尔量子反常霍尔相，以Ns=24为例，当调节边界相位角时，3个准简并基态保持准简并特征并与其他低能激发能谱间保持较大特征能隙，表明该相的拓扑稳定性，见图9(a).而且，非阿贝尔量子反常霍尔相的三重准简并基态组共享一个陈数C=3.例如，对于Ns=20的格子，有2个基态在(0，0)动量分区，贡献了4π的Berry相位，见图10(a);另一个处于(1，0)动量分区的基态贡献了2π的Berry相位，见图10(b.因此，该三重准简并基态组共享了C=3的陈数.对于可能的整数量子霍尔相QHE*，当调节边界相位角时，其非简并单重基态与其他低能激发保持较大特征能隙，见图9(b)，Ns=20的格子情形(图10(c))给出了量子化的陈数C=1.另一方面，对于超固体相，当调节边界相位角时，初始基态组的两重准简并性立刻被破坏，2个基态演化到高能激发态中.由于没有良好地定义拓扑稳定能隙，故该相没有良好定义的陈数，表明其具有超固体相的“金属”特性，见图9(c).

图8 NA-QHE相中最低能谱与能隙标度

图9 最低能谱随θ1的演化(固定θ2=0，格子Ns=24，填充数υ=1)

图 10 边界相位网格上的 Berry 曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π)(Ns=20)

5)准空穴分数统计.为了探讨非阿贝尔量子反常霍尔态中可能的分数统计，考虑从υ=1填充情形拿出一个玻色子来研究准空穴激发谱，期待形成2个携带1/2分数电荷的准空穴［7-8］.如图11(a)所示，对于Ns=24格子的典型非阿贝尔量子反常霍尔态，准空穴谱显示出清晰的能隙，将每个动量分区中的少数几个低能态和高能激发谱分开.对于每个动量分区，通过调节边界相位角，发现准空穴激发谱之上的特征能隙是拓扑稳定的，见图11.将12个动量分区的准空穴激发态数目求和，得到总计72个准空穴态.类似地，对于Ns=20格子(玻色子数Nb=9)，每个动量分区有5个准空穴态，10个动量分区给出总计50个准空穴态.

图11 NA-QHE相中的准空穴激发谱

图12 单粒子轨道上的分布构型(root configuration)

非阿贝尔量子反常霍尔相中的准空穴态的计数可以由广义Pauli不相容原理给出［16，45］.使用拓扑平带的Wannier表象［20-21］，形成Norb=Ns/2个周期性的单粒子轨道.现在以Norb=12为例.2个连续的轨道中玻色子占据数不超过2个，广义Pauli不相容原理［16，45］给出如下3个基态分布构型|nλ1，nλ2，…，(c).现在来计数有多少种方式从3个基态构型(02)，(20)，(11)中取出1个玻色子?双准空穴态的玻色子占据构型应当是2个基态构型的混合，形成2个畴壁，每个畴壁表示1/2的分数电荷［45］.简单的分析，给出了6类有奇数个1的构型以及|0|，见图12(d)～(f)，其中2个畴壁(准空穴)由2条竖线|表示.考虑上述6个构型的12次平移，最终得到总计72(一般而言为/2)个双准空穴态，该计数和数值计算结果完全吻合.

本文是该综述介绍的第1部分.第2部分(待续)的主要内容为:C=2拓扑平带上的分数量子反常霍尔效应，分数量子反常霍尔态中的边缘激发，总结和展望.

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