浅析积分的分部积分法及其人文教育价值

周 均

（长江师范学院 数学与计算机学院，中国 重庆408100）

0 引言

不定积分的计算是微积分教学的重点和难点，让学生掌握不定积分的计算方法，由于分部积分法具有复杂性和灵活性，因此让学生更透彻地掌握这种方法的实质、思路，形成解题策略，对提高学生的观察问题、分析问题的能力极其重要。笔者在近几年的教学中，对分部积分法的规律作了一些比较简单的总结，形成本文。

1 方法的分析

无论分部积分法有多么复杂和灵活，通过分析发现也有其独特的规律，即从大的方面来说，分部积分法的中心问题是解决两类函数的乘积的积分，其基本的思路是把一个积分分为两个部分（函数）的积分，其一是由V′求V，这是一个理论意义上的积分（无积分符号），其二是我们面对积分的关键是如何确定′确定的标准是前面提到的两个积分容易求得，即把求积分转化为求易求的积分根据这一要求很容易观察出被积函数的形式（或结构），根据观察在教学中将分部积分法用较简洁的语言概括为“三多选多”、“指多选多”、“代反选反”、“代对选对”、“指弦任选” 等五种方法。

1.1 “三多选多”，“指多选多”

这里的“三”指三角函数的正余弦，“指”指指数函数，“多”指的是多项式函数，即正整指数幂函数，“三多选多”、“指多选多”指正余弦、指数函数与多项式在一起的积分选多项式函数为U（以后指的“选”就是指选择为U），正余弦、指数函数为V′的计算方法。如应用一次分部积分法选择为 V′时，由求 V 就比较简单，同时在使用分部积分法后的积分多项式的次数降低了一次，这样反复应用同一选择方法的分部积分法，最后，使多项式降低为零次，使积分变为只有一类函数积分显然积分简单容易了。……