极小子流形的相关研究

王 庆

(苏州市职业大学 马列与公共教学部，江苏 苏州 215104)

极小子流形的相关研究

王 庆

(苏州市职业大学 马列与公共教学部，江苏 苏州 215104)

本文主要涉及极小子流形的相关研究。通过对子流形结构的深入了解，本文使用calibrated几何中提出的calibration，来得到极小子流形。进一步，以Rk+h中的极小锥面为例，可以得到欧氏空间中的极小超曲面。

子流形;calibration;极小锥面

0 引言

自从Euler研究面积最小的旋转面以及Lagrange首次导出极小曲面方程以来，极小曲面论题已经历了二百多年的发展，许多数学家在这方面做出了杰出的工作，如Chern［1］，Douglas［2］等。国内外学者对极小子流形的研究充实了微分几何，对诸如拓扑学、几何测度论等相关学科的发展作出了贡献。Calibration是Harvey与Lawson等人1982年［3］中开始系统研究的，它是研究子流形的有力工具。Federer等用Kahler形式给出calibration;Gluck等用Euler形式给出calibration，并研究了Grassmann流形上用Pontragin形式作为calibration的积分子流形。近年来理论物理学家在M-理论的研究中，也开始引用这一结果。通过对子流形［4］和超曲面［5］结构的深入了解，本文使用calibrated几何中提出的calibration，来得到极小子流形。进一步，以Rk+h中的极小锥面为例，可以得到欧氏空间中的极小超曲面。

1 极小子流形

N

黎曼流形(N，)中的m维浸入(设f:M→)子流形M，若它的平均曲率处处为零，则M是极小子流形。进一步，若M是紧致带边有向等距浸入光滑流形，定义它的任意一个固定边界的变分F:M×(－ε，ε)→N，则由Ft的体积给出函数V(t)=Vol(M，(Ft)*)得到体积的第一变分公式:

其中子流形f:M→N的平均曲率向量为H，F的变分向量为ω，子流形M的体积元素为dV。……