关于Van Der Corput不等式推广的进一步改进

何 灯,吴善和

(1.福建港头中学,福建 福清 350317;2.龙岩学院教学与计算机科学学院,福建 龙岩 364012)

0 引言

著名的Van Der Corput不等式由Van Der Corput J G[1]于1936年所建立.近几年,众多学者对该不等式进行了研究,总结所使用方法,大致有两种.传统方法,利用加权算术几何平均不等式将Van Der Corput不等式较小端放大,再对所获得的不等式的上界进行估计,从而建立强弱不同的不等式[2-8].特别地,文献[9]利用此法建立了Van Der Corput不等式的单参数推广,文献[10][11]则将文献[9]的结论做了改进.更多关于该不等式的参数推广,还可参阅文献[10-13].有别于传统的方法,文献[14]中张小明及合作者利用所建立的最值单调定理[15]给出了Van Der Corput不等式的一个形式简洁且较强的加强式,文献[16]同样利用最值单调定理将文献[9]的结论做了改进.借助于maple数学软件,采用传统的方法,本文建立Van Der Corput不等式单参数推广的更进一步的改进,所得结论优于现有的相关结论.

1 预备知识

Van Der Corput不等式:(n+1)an收敛,则

其中γ=0.57721566…为欧拉常数,系数e1+γ为最佳.

设 α∈(-1,+∞),记

文献[9]建立Van Der Corput不等式的单参数推广

文献[10][11]建立式(2)的改进

注 根据文献[10][11]的证明过程,该文献仅证明当α∈[0,+∞),式(3)成立.事实上,当α=-1/2,n=4时

故当 α∈(-1,0)时,式(3)不恒成立. 注意到 r*(α)=r(α)+ln(1+α),当 α∈[1/10,+∞)时,求导易证故式(3)普遍弱于式(2).

文献[16]利用最值单调定理将式(2)改进为

2 引理及证明

引理1[17]若x>0,则(1+1x)x

引理2 若x∈(0,1),则ln(1-x)≤-x.

求导易证,证略.

引理3[9]设α∈(-1,+∞),则

P1(α)在(1,2)上单调递减,P2(α)在(1,2)上单调递增.求导可证,证略.

引理5[18,19]如果多项式F(x)的判别式序列的符号修订表的变号数是ν,那么F(x)的互异共轭虚根对的数目就是ν,而且,如果该符号修订表中非零元的个数是η,那么F(x)的互异实根的数目是η-2ν.

引理6 P3(α)=109a6+1262a5+4747a4+6064a3-3946a2-15576a-9688在α∈(-1,∞)上存在唯一实根α*=1.3614….

证明 由文献[19]中给出的DISCR程序,可求P3(α)的判别式序列的符号表和符号修订表均为[1,1,1,-1,-1,-1],其变号数为1,据引理5得P3(α)有1对互异的虚根,有4个互异实根.借助于maple数学软件可求这四个实根为-5.7860…,-1.5980…,-1.3580…,1.3614…,显然前三个实根并未落在区间(-1,+∞)上,从而P3(α)在(-1,+∞)上存在唯一实根α*=1.3614….

特别地,当α∈(-1,α*),P3(α)符号必恒定,又P3(0)=-9688<0,则α∈(-1,α*),P3(α)<0. 同理当 α∈(α*,+∞),P3(α)符号恒定,又 P3(1)=115200>0,则当 α∈(α*,+∞),P3(α)>0.

3 主要结论及其证明

定理 设 α∈(-1,+∞),an≥0(n∈N),若收敛,则有

证明 只需证Bn由引理1

则只需证

或

由引理2有

则只需证明

(I)当n=1,由引理3有

则

其中借助于maple数学软件可计算

其中P3(α)同于引理6.由引理6,当α∈(-1,α*),G1′(α)<0,G1(α)在α∈(-1,α*)上单调递减.当α∈(α*,+∞),G1′(α)>0,G1(α)在α∈(α*,+∞)上单调递增.则G1(α)≥G1(α*).

由引理4可得

综上,当n=1时,式(6)成立.

(Ⅱ) 当n≥2时,式(6)等价于

G2(Sn(α))可看成是关于Sn(α)的一元二次函数,由引理3得

显然G2(Sn(α))图象是开口向下的抛物线的一部分.注意到该抛物线的对称轴

2n22(n+α))则仅需证

记 T= γ(α)+ln(n+α),则只需证

借助maple数学软件,式(7)等价于

其中

由引理3得

则只需证明

经整理,式(9)等价于

其中

下面就B1(n,α)分两种情况讨论:

①当B1(n,α)≤0时,由式(8),欲证式(10),只需证明

做代换n=x+2,α=y-1(x≥0,y>0),则

其中

显然D(x,y)>0,式(10)成立.

②当B1(n,α)>0时,式(10)等价于

借助maple数学软件,可求

其中

从而F′(t)>0,F(n)≥F(2).

由引理3

欲证F(2)>0,只需证明

上不等式显然成立,式(11)成立.

综上,式(10)成立,式(6)成立,定理得证.

4 强弱比较

且 α∈(-1,α*)时,H(1,α)<0,α∈(α*,+∞)时,H(1,α)>0.

当n≥2,注意到e-t<1-t+12t(2t>0),则

其中

综上,式(5)仅在n=1,α∈(-1,α*)上弱于式(4),其他范围较式(4)强,且形式简洁优美.

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