浅谈《概率论》课程中的启发教学与互动模式

◆徐 晨

(东北大学)

《概率论》是研究随机现象的规律性的一门学科，在生物、计算机技术、经济、工业生产、医学等领域中有着广泛的应用，是理、工、农、林、经济管理等非数学专业的必修课程，也是数学专业与统计专业的必修课程。与其他基础数学课程不同的是概率论中研究的是不确定现象、随机事件，因此思维方式有很多不同的地方，并且现在通行的教材中为了理论的严谨，因此概率的定义是从测度论的角度出发的，而学生又很少接触测度论的内容，因此在概率的定义，密度函数的定义等地方，学生通常会感到晦涩难懂，理论与实际很难有效结合。基于这种情况教师更应该注意理论与实际结合。而不是只讲理论、定义和无实际意义的计算例题，教师还应注重趣味性和启发性，引导学生自主思考，和学生建立良好的互动性。

教师在课堂上不是一味自主式填鸭教学，定义、知识点等一个一个介绍，而不了解学生真正理解和掌握情况。教师往往是一个问题提出者，这个问题最好还是身边熟悉的例子，然后提问让学生思考，并给学生思考时间，等学生陆续响应后，要给出总结，指出哪点是正确的，哪点是不对的，还有什么是学生没想到的。当然这需要教师本身知识点全面，实际经验丰富，教学经验丰富，因为教师不仅要引导学生回答问题，而且要保证课堂纪律，使得课程得以顺利继续，因此何时提问，何时适时终结回答，都需要在长期教学中得以摸索总结。

本文将结合多年《概率论》的教学经验，对于课程中的启发式与互动性教学给出一些探讨与建议。

一、如何介绍概念与定义

概率论中有很多专业名词与概念，例如:随机事件、概率、随机变量、分布率、密度函数、期望、方差、协方差、相关系数等。这些概念是这门学科的基础，也是这门学科解决实际问题的工具，让学生能理解并熟练应用这些概念解决问题，才是教学的本质目的。因此介绍概念不应是照本宣科机械的介绍，而应从概念是如何产生的，它们的发展历史是什么，主要应用，来解决什么问题这种角度出发来介绍。例如，“概率”一词定义，一般通行的教材上都是从测度论角度定义的，概率是一个测度，应满足非负性、规范性、和可列可加性。如果在课堂直接介绍定义，学生一般都很难理解，在生活实际中概率一词往往解释为随机事件发生的可能性大小，与现行的概率一词的定义很难产生联系。因此，在课堂上为同学讲解概率一词的定义的产生历史很有必要，可先让同学思考:概率的定义是什么，多数同学会回答是发生可能性大小，这时可再让学生思考，把发生可能性大小直接作为定义严谨吗?合适吗?接着就可引出概率的本质是什么?概率定义的产生历史，概率与频率的关系等问题，最后介绍概率的定义。这种提问——思考——再提问——再思考，联系历史，按照逻辑演义方式来讲解概念，往往使得同学能理解概念，并保持思考的习惯去探究概念的合理性，发展性。

二、生活实际中的例题

概率论中很多经典的分布都来自于生活实际，例如泊松分布，背景是一段时间内稀有事件发生的次数;再如指数分布，背景是生物或元件寿命的分布，等等。因此在介绍这些分布时，更不能离开生活中的实际例子。可以从产生背景，分布律或密度函数的推出，实际应用等几个方面展开说明。又如在讲二维随机变量的和函数、最大函数、最小函数的分布时，就可以以物理中的元件的备用电路、并联电路、串联电路为例(如图1所示)进行讲解，这个例子还结合指数分布、独立性等知识，在讲解时候应注意融会贯通，将前后知识点联系在一起处理实际问题，并还可以进一步提问，例如备用电路、串联电路、并联电路的平均寿命是否一样，平均寿命用什么表示等等问题，为后面的数字特征知识点做铺垫。

三、与其他学科的联系

数学是为很多其他学科解决实际问题而服务的，概率论作为数学学科的一个分支，因此也和其他学科有着很多的联系，而教师如果在课堂能介绍一些有关概率论和其他学科联系的内容，对于丰富学生知识面，引导同学对交叉学科之间问题的思考是有很大好处的。例如，在介绍古典概型时候著名的波利亚罐模型，就是医学统计中流行病学的数学模型，因此在讲这个例题的时候，怎样计算往往是次要的，而是模型的建立，如何用模型来描述生活实际中问题，等等，这些给同学介绍清楚，那么同学们在听这个例题的时候就不只是要知道怎样计算了，而是学习了用数学的知识联系实际，建立模型，达到解决问题的这套方法。再如，连续性随机变量的密度函数和期望，可以和物理学中的密度与重心联系起来，如果把一个一维概率密度函数理解为一个质量均匀的平面，那么期望所在的位置恰好就是平面的平衡点，这样同学们在密度函数图像上大致标注期望的位置时候，会有一个直观感觉，也能理解期望为什么受随机变量的异常取值的影响比较大。

四、结语

实践证明，启发式教学与互动模式对于活跃课堂气氛，引导学生独立思考，激发学生求知欲与兴趣，保持良好的思考习惯是大有裨益的。教学本来就是一个不断发展、不断革新的过程，在秉承着教书育人的精神时，还应不断摸索怎样教好，宗旨应该是教会学生思考。本文给出了一些建议，可以在这个思想下继续探究更好的教学模式，使得学生对于知识的掌握更灵活，教师的能力也不断提高。

［1］程培.概率论课程的启发式教学法探讨［J］.赤峰学院学报(自然科版)，2013，29(2):1-3.

［2］金德泉，黄志.《概率论与数理统计》课程教学改革的一点思考［J］.科技视界，2012，(29):18-19.

［3］杜宇静，孙晓祥，国冰，姜丽萍.概率论课程教学中提高学生学习兴趣问题的探讨［J］.吉林农业科技学院学报，2012，21(3):113-114.