实结合代数的双环与Clifford代数的结构

张桂颖,李武明,张庆成

(1. 通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002;2. 东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024)

Clifford代数在数学与物理学领域应用广泛[1-8]. 本文由实结合代数的双环讨论p+q维Minkowski空间[3-4]Rp,q生成的Clifford代数Clp,q的性质. 结果表明: 非可除的Clp,q均存在双环为其子代数;中心子代数非可除的Clp,q均为双环.

1 预备知识

有限维可结合的实可除代数均为Clp,q的子代数. 事实上,有限维可除的实可除结合代数只有R≅Cl0,0,C≅Cl0,1,H≅Cl0,2. 除上述情形外,Clifford代数Clp,q均是非可除代数.

Clifford代数[3-4]Clp,q的生成空间Rp,q存在一组基:e1,…,ep,ep+1,…,ep+q,对Clifford积及Minkowski内积[5-7]满足如下关系式:

由(p,q)型Minkowski空间 Rp,q生成的Clifford代数Clp,q的一组基为:

1;e1,e2,…,ep+q;e1e2,e1e3,…,e1ep+q,e2e3,…,e2ep+q,…,ep+q-1ep+q;…;e1e2…ep+q.

Clp,q的中心子代数[10]Cen(Clp,q)只可能是R≅Cl0,0,C≅Cl0,1,H≅Cl1,0. 且有

(3)

其中H={a+bj|a,b∈R,j∉R,j2=1}是 R上二维可交换的实结合代数,称为双曲复数,j称为H的双曲虚单位.

2 Clp,q有双环为其子代数的条件

定义1设A为域F上的代数,利用A的加法运算与乘法运算,在A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}上定义加法运算与乘法运算为(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)和(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2). 则A2构成环,称其为A的双环,记为2A.

若将A2视为F-线性空间,则2A还是F上的代数. 本文讨论的双环均为有限维实可除代数的双环.

例1实数域上双环2R={(a,b)|a,b∈R},其单位元为(1,1),2R的零因子集为

Z(2R)={a(1,0)}∪{b(0,1)}.

例2实2阶矩阵双环2R(2)={(A,B)|A,B∈R(2)},且有

(A,B)∈Z(2R(2)) ⟺A∈Z(R(2))或B∈Z(R(2)).

例3四元数双环2H={(α,β)|α,β∈H},其零因子集可表示为Z(2H)={α(1,0)}∪{β(0,1)}.

定理1设Clp,q是由p+q维Minkowski空间 Rp,q生成的Clifford代数,则Clp,q有子代数同构于双环2R的充要条件是Clp,q是非可除的.

证明: 若Clp,q有子代数与双环2R同构,即与双曲数H同构,则Clp,q有双曲虚单位,即Clp,q有非平凡自逆元. 若Clp,q有非平凡的自逆元u,u2=1,即u为Clp,q的一个双曲虚单位,则Clp,q有子代数{a+bu|a,b∈R}≅H≅2R. 因此Clp,q有子代数与双环2R同构等价于Clp,q有非平凡自逆元.

设u是Clp,q的一个非平凡自逆元,令v=(1+u)/2,则

即v是Clp,q的非平凡幂等元. 设v是Clp,q的非平凡幂等元,则存在非零元1-v,使得v(1-v)=0,即Clp,q有非平凡零因子.

由Clp,q是非可除的,Clp,q有非平凡零因子,可知p>0或q>2. 当p>0时,Clp,q有非平凡自逆元e1,命题成立. 当p=0时,必有q>2,Clp,q有三次单位向量e123为其非平凡自逆元. 证毕.

由定理1的证明过程,可得:

推论1Clp,q有子代数同构于双环2R等价于Clp,q有非平凡的幂等元,且等价于Clp,q有非平凡的自逆元.

利用Clp,q中心子代数Cen(Clp,q)的表达式(3)及定理1的结论,可得:

定理2设Cen(Clp,q)是Clp,q的中心子代数,则Cen(Clp,q)有双环结构的充要条件是Cen(Clp,q)非可除.

推论2Cen(Clp,q)有双环结构等价于Cen(Clp,q)有非平凡的幂等元,且等价于Cen(Clp,q)有非平凡的自逆元.

证明: 若Cen(Clp,q)有双环结构,则必有p+q>0. 当q>0时,由定理2知

Cen(Clp,q)={a+be12…(p+q)|a,b∈R}.

任取a∈Clp,q,a可表示为

其中b,c∈Clp,q-1(⊂Clp,q). 故命题成立. 类似可证,q=0时命题也成立.

定理4若Clp,q的中心子代数Cen(Clp,q)有双环结构,则Clp,q有双环结构. 且

证明: 若Clp,q的中心子代数Cen(Clp,q)有双环结构,则有

Cen(Clp,q)={a+be12…(p+q)|a,b∈R}≅H≅2R.

当q>0时,任取a∈Clp,q-1,b∈Cen(Clp,q),有: 1)ab=ba;2)Clp,q=Clp,q-1Cen(Clp,q);3) dimClp,q=2p+q=2p+q-1·2=dimClp,q-1dim Cen(Clp,q). 从而有Clp,q≅Clp,q-1⊗Cen(Clp,q)≅Clp,q-1⊗2R≅2Clp,q-1. 同理可证,当q=0时,有Clp,q≅2Clp-1,0,故命题成立.

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