带有多重临界指数的椭圆方程组的非平凡解

康东升，吴 红，张微微

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

1 问题的引入

本文研究下列椭圆方程:

(1)

J(u,v)=

则J∈C1(H×H,R). 我们称(u0,v0)∈H×H是方程组(1)的解，如果

u0,v0≠0,〈J′(u0,v0),(φ,φ)〉=0,∀(φ,φ)∈H×H.

方程组(1)的解(u0,v0)等价于J的一个非零临界点.

方程组(1)涉及到下面著名的Hardy不等式[1]:

(2)

其中Uμ(x)是径向对称函数，

Uμ(x)=

Sη,α，β(μ):=

近年来,数学工作者对于带有Hardy项和临界Sobolev指数的奇异椭圆问题关注很多，并且也取得了很多重要成果. 然而，现有的结果主要涉及到单个方程，而对于奇异椭圆方程组的研究还很少. 因此，在本文中我们将研究方程组(1)，证明其非平凡解的存在性.

在本文中我们假设：

定义二次型

Q(u,v):=(u,v)A(u,v)T=a1u2+2a2uv+a3v2.

如果(H2)成立，则有：

λ1(u2+v2)≤Q(u,v)≤λ2(u2+v2),∀(u,v)∈H×H.

本文用到以下符号：

2*+ηατβ-ηβτβ-2-2*τ2*-2=0,τ>0.

若η=0,τmin=0且f(τmin)=1.

本文的主要结果如下.

2 非平凡解的存在性

(ii)Sη,α,β(μ)=f(τmin)S(μ)=f(τmin)S(0)=Sη,α,β(0),∀μ∈(-∞,0].

设ei(x)为对应于Λi(μ)的特征函数，i∈N,k∈N,H(k)表示由对应于特征值Λ1(μ),Λ2(μ),…，Λk(μ)的L2范数单位化的特征函数张成的空间，取m∈N足够大使得B2/m(0)⊂Ω. 定义：

设μ<0且ξ∈Ω,取m∈N足够大使得B2/m(ξ)⊂Ω{0}. 定义：

(3)

(4)

(5)

证明由于(3)式的证明与(4)式的证明方法相同，所以在此只证明(4)与(5)式.

由(2)式可得：

(6)

所以有：

(7)

另一方面，

∀x∈B1/m(0){0}.

由(6)式可以得到:

(8)

由(7)和(8)式可得(4)式.

下证(5)式，由于

∀x:|x|≥ε.

∀x∈B1/(qm)(0),

∀x∈B1/(qm)(0).

(5)式证毕.

同样地，当ξ∈Ω,m∈N充分大，定义：

由引理4的证明过程，可以得到下面的引理5.证明略去.

引理5 设m充分大，ε=o(m-1)，则:

对于ρ>0，定义下面的符号:

(i)存在σ>0,δ>0,ρ>0,使得：

(ii)存在R>ρ,使得：

J(u,v)≥

C‖(u,v)‖2*.

所以当ρ和σ充分小时，(i)成立.

(9)

所以有

对任意的r≥0,有

由引理4和5，存在R1>0使得:

定义集合

由环绕定理[8]，我们得到J的一个(PS)c序列，由引理1，当ε充分小时就有

(10)

定理1的证明设(H1),(H2)成立且0≤μ<

相反地，假设:

(11)

(12)

在引理5中取ε=m-(N+2)/2，则有:

(13)

(14)

(15)

(16)

由(13)～(16)式和引理2可得：

J(τmum,τmτminum)≤

(17)

注意到

(18)

由(9)，(17)，(18)式可得：

与(12)式矛盾，因此当ε充分小时(10)式成立.由环绕定理[8]和引理1，方程组(1)有一个解(u,v)∈H×H. 定理1证毕.

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