一类行列式的解法

秦喜梅

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

行列式是代数学中的一个重要内容，在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等方面应用广泛。由于行列式的计算方法很多：利用n阶行列式的定义，把行列式化为上（下）三角形，按行（列）展开法则等，所以在计算行列式时，往往根据行列式自身的特点选择方法进行计算。而且不仅仅局限于某一种算法，主要根据其组成元素的规律寻找相应的计算方法。

方法一：按行（列）展开法则。

先把Dn按照第一行展开，得

再把Mn-1按照第一列展开，得

所以 Dn=an+（-1）2n+1an-2=an-an-2=an-2（a2-1）.

方法二：化为下三角形。

或者如下分两种情况讨论计算：

方法三：化为上三角形。

当a≠0时，

方法四：利用分块对角矩阵的行列式的计算方法。

方法五：递推降阶。

先把 Dn按照第二行展开，得 Dn=a·（-1）2+2Dn-1，再把 Dn-1按照第二行展开，得 Dn-1=a·（-1）2+2Dn-2，依次下去得 Dn=aDn-1=a2Dn-2= … =an-3D3=an-2D2=an-2（a2-1）.

方法六：利用数学归纳法。

当n=2时，Dn=

当n=3时，Dn=

当n=4时，Dn=

故猜测Dn=an-2（a2-1）下面利用数学归纳法证之。

假设当 n=k 时，Dk=ak-2（a2-1），下证 Dk+1=ak-1（a2-1）.

把 Dk+1按照第 k 行展开， Dk+1=（-1）k＋kDk＝ a·ak-2（a2-1）=ak-1（a2-1）.

[1] 同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007：9-27.

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