一类七次系统三次幂零奇点的焦点判定与极限环分支

卜珏萍

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

讨论一类七次微分自治系统

其中原点为三次幂零奇点，由文[1]，容易验证，系统（1）中原点为中心或焦点。

由文[4]中给出的递推公式，利用Mathematica计算求得系统（1）原点的前10个拟Lyapunov常数如下：

由 λ10≠0，可得

再由λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=λ6=λ7=λ8=λ9=0得：

由于 a02≠0，b02≠0 时，

与

不能同时为零，即式（5）为零时，（6）不能为零，即当 λ9=0 时，λ10≠ 0，由此可得

定理1 系统（1）的原点为10阶细焦点的充要条件是

对系统（1）作微小扰动后的系统

由定理 1，当充要条件（7）成立时，有

从而有

定理2 若系统（1）的原点为10阶细焦点，则当0＜δ≪1，且系统（1）的系数作适当微小扰动时，系统（8）在原点的充分小邻域内恰有10个包围初等结点O（0，0）的极限环。

[1] Amelikin.B.B.,Lukashivich.H.A.,Sadovski.A.P.,Nonlinear Oscillations in Second Systems[M].Russian：BGY Lenin.B.I.Press.1982.

[2] Alvarez.M.J.,Gasull.A.,Monodrama and stability for nilpotent critical points[J].IJBC.2005，（4）：1253-1265.

[3] Alvarez.M.J.,Gasull.A.,Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms[J].J.Math.Anal.Appl,2006，（318）：271-287.

[4] 刘一戎，李继彬.平面向量场的若干经典问题[M].北京：科学出版社，2010.

[5] 徐玲，刘一戎.一类四次系统幂零中心焦点判定与极限环分支[J].丽水学院学报，2011，（2）：1-5.

[6] 赵倩倩，刘贵兰.一类原点为幂零奇点的七次系统的焦点判定与极限环分支[J].佳木斯教育学院学报，2012，（3）：144-145.