一类Lotka-Volterra合作系统的四个正周期解问题

张友梅

（合肥职业技术学院基础部，安徽 巢湖 238000）

1 引言

近年来，各类生物模型的周期解的存在性得到广泛的研究。考虑到时滞的影响，考虑以下带收获项的时滞Lotka-Volterra合作系统：

其中 x（t）和 y（t）分别表示合作种群的密度；ai（t），bi（t），di（t），τi（t），ci（t），hi（t），h=1，2 都是正的连续函数，分别表示自然增长率，成虫死亡率，幼虫死亡率，时滞，合作效率和两种群的收获率。对于该种群模型的详细介绍，可参看文献[1-5]。

重合度理论是研究周期解的存在性和多解性的重要工具[6-7]。受以上论文的启发，我们利用重合度理论来研究模型（1.1）多个正周期解的存在性。 此外，假设（1.1）中所有的参数都是正的ω-周期函数，ω＞0.

2 预备知识

首先介绍几个相关概念。

令X，Z是赋范向量空间，L：D omL⊂X→Z是线性映射，N：X×[0，1]→Z是连续映射。如果dim KerL=codim ImL＜∞且I mL在Z中是闭的，则称L为Fredhol映射。如果L是指标为0的Fredhol映射，则存在连续映射 P：X→X 和 Q：Z→Z，使得 I m P=KerL，I m L=Ker Q=I m（I-Q），X=KerL⊕Ker P，Z=I m L⊕ I m Q.因此LDomL∩KerP：（I-P）X→I m L是可逆的。记KP为L映射的逆。如果Ω为X的有界开子集，且QN×[0，1]）是有界的，Kp（I-Q）N：× [0，1]→X 是紧的，则称 N 在× [0，1]上为 L-紧的。因为 I mQ 和 KerL 是同构的，所以存在同构映射J：I mQ→KerL.

定理2.1[8]令L是指标为0的Fredholm映射，且令N在×[0，1]上是紧的，设

下面给出文中用到的一些记号：对于连续ω-周期函数f（t），记：

再作假设如下：

记八个正数如下：

3 四个正周期解的存在性

定理 2.2 若条件（H1），（H2），（H3），（H4），（H5）成立，则系统（1.1）至少存在四个周期解。证明：首先利用变量代换

则模型（1.1）可变为：

因为P，Q是连续的投影，所以ImP=K erL，K erQ=ImL=Im（I-Q）.则L是指标为 0的Fredholm映射。 算子 L的广义逆算子则有

这里

QN和KP（I-Q）是连续的。用Arzela-Ascoli定理容易验证对任意的有界开集是紧的。进一步，是有界的。因此在上，对于任意的有界开集Ω⊂X，N是L-紧的。

为了利用定理2.1，必须在X中找到至少4个合适的有界开子集。考虑算子方程L x=λN（x，λ），λ∈（0，1）得到：

假设存在 λ∈（0，1），u∈X 是方程组（2.3）的一个 ω-周期解。 则存在使得

ui（ξi）=且有

由以上讨论和（2.3）有：

（2.4）（a）和（b）给出：

从（2.6），（2.7）有

由（H1），有

即

同理由（2.5）（a）和（b）和（H1），得

则

即

然后可得

注意到

由这个不等式和（H2），可得

那么有

类似地，由（2.4）（b）及（H3）得

则

同理，由（H4）和（2.5）（a）可得

则

类似地，由（H5）和（2.5）（b）可得

从（2.8），（2.10），（2.12），（2.14）得

或者

从（2.9），（2.11），（2.13），（2.15）得

或者

显然，K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，K8是不依赖于 λ 的。

现作

那么有 Ωi（i=1，2，3，4）是 X 的有界开子集，且 Ωi∩ Ωj= φ，i≠j，i， j=1，2，3，4.因此 Ωi（i=1，2，3，4）满足定理 2.1 的条件（1）.

下面证明定理 2.1 的条件（2）也是满足的。 即要证当 u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R2时，QN（u，0）≠（0，0）T（i=1，2，3，4）.若该结论不成立，则当 u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R2，（i=1，2，3，4），常向量 u∈∂Ωi（i=1，2，3，4）满足

因此存在两个点 ti=（i=1，2）满足

由（2.16）-（2.19），有

所以 u∈Ω1∩R2或 u∈Ω2∩R2或 u∈Ω3∩R2或 u∈Ω4∩R2，这与 u∈∂Ωi∩R2（i=1，2，3，4）是相矛盾的，这就证明了定理2.1的条件（2）是满足的。

最后证明定理 2.1 的条件（3）也满足。 由条件（H1），（H2）得方程组

有4个不同的解，它们分别是

这里

易证：

因此

因为K erL=ImQ，J=1则：

因为

故有

所以

至此，证明了Ωi（i=1，2，3，4）满足定理2.1中的所有假设条件。因此模型（2.2）至少存在4个不同的ω-周期解。以（1.1）至少存在4个不同的正的ω-周期解，定理2.2得证。

[1] 马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996：46-55.

[2] Zhengqiu Zhang,Zhicheng Wang.The existence of a periodic solution for a generalized predator_prey system with delay[J].Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.,2004，（137）：475-486.

[3] Zhengqiu Zhang,Zhicheng Wang.Periodic solutions of a two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment[J].ANZIAM J.,2003，（45）：233-244.

[4] Zhengqiu Zhang,Jun Wu,Zhicheng Wang.Periodic solutions of nonautonomous stage-structured cooperative system[J].Comput.Math.Appl，2004，（47）：699-706.

[5] Yongkun Li.Periodic solutions of a periodic delay predator-prey system[J].Proc.Amer.Math.Soc.1999，（127）：1331-1335.

[6] 刘娟风，魏凤英.具有捕获的三种群Lotka-Volterra系统的多个周期解[J].福建师大福清分校学报，2010，（5）：1-8.

[7] 雷慧榕，魏凤英.具有捕获的四种群捕食系统的多个正周期解[J].福州大学学报（自然科学版），2011，（2）：167-172.

[8] R.E.Gaines,J.L.Mawhin.Coincidence degree and nonlinear differential equations,in Lecture Notes in Mathematics,vol.568[M].Berlin：Springer-Verlag，1977.