激活经验 引发内省 理解数学

葛敏辉

一、解读“周长”

“周长”在数学学习中有着十分重要的地位。它的本质意义可以理解为是封闭图形一周的长度。但低段学生比较难理解这样的意义，原因有二：

第一，周长是一种特殊的长度。我们知道，周长是属于一维空间的，然而它却存在于二维空间中，所以它很容易与形或面相混淆。儿童比较习惯根据自己的直观视觉观察，容易把“大小”拿来作为判断周长的依据，很难把图形的“周长”归纳于“长度”的大家庭中。

第二，因为周长是指一周的长度，这“一周”的意义对于儿童来说，有着丰富的个性化理解，有人理解为是一星期，有人认为一个周期，也有的理解为是周围……要剔除非本质的属性，把握住概念中的本质内涵，对于儿童来说似乎比较困难。

各版本教材在编排这一内容时，都强调通过看一看、描一描、摸一摸等活动来认识周长。这虽然符合儿童的数学学习规律，但细细想来，还是存在着一些困惑。例如，如果只是观察，没有比较归纳，哪怕是有再多的实例，也只是量的叠加，而非质的丰富，也就没有真正意义上的抽象；如果只是操作，没有思维参与、没有内省，尽管五官都动起来，学生也可以“依样画葫芦”，以至于没有准确理解概念的本质意义。那么如何才能让学生有了观察还会自主归纳，有了操作还会体验内省呢？我们需要为教学寻找一个支点。

二、寻找支点

陶行知先生曾说过：“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育。”事实上许多数学概念正是从生活形象中抽象出本质特征而形成的。周长这一概念也不例外，其核心意义“一周的长度”，儿童在生活体验中已经积累了丰富的经验。比如，学生每天在学校绕操场跑步，经常陪爸爸妈妈绕公园散步，买裤子时要量腰围，等等。只是在他们的理解中，这种经验一般以“一圈的长度”来表述。可见，学生在学习周长之前并不是一张白纸，他们有着丰富的生活经验，如何利用好这些生长点，实现经验与数学的对接，引导学生将经验数学提升为学科数学，是我们教师需要思考和努力的。

因此，从学生的经验出发，让学生经历参与、反思、内化、运用等数学活动，实现反省经验、改造经验，丰富经验的目的，从而达到对数学概念本质意义的理解，是我们组织教学的支点！

三、教学实践

有了以上的分析和思考，我设计并教学了“周长的认识”一课，现撷取几个教学片断并加以分析，以期能与同行交流、探讨。

1.激活经验

师（板书：长度）：以前学过吗？说说看，长度的知识你已经学会了哪些？

生1：我们学过了米、分米、厘米这些长度单位。

生2：我们学过了可以用尺子来测量长度。

师：这里有两根电线，哪一根电线长一些？

投影：

第1根：■

第2根： ■

生3：第1根电线长一些。因为它现在是弯的，把它拉直了就一定比第2根电线长。

师：今天我们要来认识一种特殊的长度。（板书：周长）

师：谁能来解释一下“周长”是什么意思？

生4：周长是一星期的时间。

生5：周长应该是指一圈的长度。

师：你们觉得哪一种理解在这里比较合适？你能不能举个例子说说“一圈的长度”什么意思？

生6：我们绕操场跑一圈，操场一圈的长度是200米。

师：怎样跑就是操场的一圈？

生7：从哪里开始跑，跑回到起跑的地方就刚好是一圈。

师：你在哪还经历过这样的一圈？

生8：我每天吃过晚饭要和爸爸去小区散步，绕小区走一圈。

生9：绕公园走也有一圈，教室也有一圈……

师：操场上跑一圈，这一圈也可以叫做一周；小区里的一圈，教室里跑一圈也叫一周……所以你们说的“一圈”数学上一般叫“一周”，一周的长度就是一圈的长度，叫周长。

生（齐读）：一周的长度是周长。

[分析与思考]教师在一开始就帮助学生回忆起关于长度的经验，目的是为后续理解在二维空间中的图形的周长其实质与一维空间中的长度的意义相同。周长因为是“一周的长度”，因此其第二个核心意义就是“一周”，通过唤醒学生在生活中跑步、散步、买裤子量腰围的经验，抽取出其相同的属性，即“一圈”。对于一圈，学生完全可以找到很多经验来理解。有了这样的领悟，由此可使所有的学生在自己原有的经验基础上开始转化。从领悟到转化，这就实现了经验向数学的对接，符合儿童的认识规律。

2.感知周长

师：现在按你的理解，请判断：蚂蚁爬过的路线长度是这片桑叶的周长吗？（如图1）。■

生1：不是。因为蚂蚁没有爬回到起点，这样就没有一周。

生2：要从起点出发回到起点。

师（投影第二只蚂蚁爬。如图2）：这个呢？■

生：不是。

师：已经爬回到起点了，为什么还不是啊？

生3：它爬到里面去了，这样不是桑叶的周长。

生4：应该在桑叶的边缘爬，再回到起点就是了。

师：沿着边缘爬的路线我们可以叫做“边线”。（投影第三只蚂蚁爬，如图3）■沿着边线爬，回到起点这样正好是一周，这一周的长度就是这片桑叶的周长。（学生动手指一指）

师：静静地想一想，那你觉得哪张叶子一周的长度长一些？

生5：桑叶的周长长一些。因为它大一点。

生6：枫叶的周长长一些。因为它的边线有很多曲折。

师：好像都有道理，有什么办法能比一比？

生7：我们可以把它们一周的长度拉直来比一比。

师演示两张树叶边线拉直的图进行比较（如图4）。得出结论：枫叶的周长长一些。

■

师：通过刚才的比较，你发现了什么？

生8：面大也不一定周长长一些。

生9：周长是一周的长度，不看里面的。

生10：边线越曲折，它的周长会越长。

……

[分析与思考]研究表明，为学生提供有层次性的、与数学本质一样的活动情境，让学生获得足够的替代性经验，可以有效地帮助学生从现实经验中抽象出数学概念和结构。因此，教师安排了观察蚂蚁爬桑叶来让学生思考蚂蚁爬过的路线长度是不是这片桑叶的周长，很好地使每一个学生在参与观察、思考、交流的活动中，获得具体经验，即要从起点回到起点、要绕边线，实现了对自己生活经验的加工改造。然后再让学生经历指一指、比一比的活动，促进他们把获得的经验进行内化，进一步获得了合乎逻辑的、抽象的经验，即周长的实质是一周的长度。把一周的边线拉直就是以前的长度知识，亦可测量、比较，打通了新旧知识间的联系。

3.理解本质

师：我们还学过一些平面图形。

■

图4

师：你能指出这些图形（如图4）的周长吗？指给同桌看一看。

师：谁上来指长方形的给大家看一看？（让一名学生上讲台指）

师：有跟他指的不一样的吗？（不同指法展示）

师：他们刚才哪里不一样？

生1：他们指的方向不一样。

生2：他们指的起点也不一样。

师：为什么他们指的方向和起点都不一样也都可以呢？

生3：因为他们都指了长方形的一周。

师：有人说圆这个图形很难指的，你知道为什么吗？

生4：我们不知道从哪里开始，指的时候有可能指过头了，或者还没有到起点就停下来了。

师：有什么办法克服吗？

生5：做个起点的记号。

师：谁来试一试？（学生演示）

师：根据你现在对周长的理解，你觉得下面这个图形有周长吗？

■

生6：有周长。

生7：没有周长。

师：说说你们的想法？

生8：没有周长。因为回不到起点了。

生9：这个图形有开口，没有一周。

师：那你能把这个没有周长的图形变成一个有周长的图形吗？

（展示学生的作品，如图5）

■

图5

师：看来只有像这样没有缺口的图形才有“周长”。像这样的图形我们简称为封闭图形（板书：封闭图形）。只有封闭图形才有一周的长度。

[分析与思考]对一个概念本质属性的准确把握，不仅需要丰富的正例，也需要通过将其和反例进行比较，才能剔除非本质的属性，从而理解概念的本质意义。因此，虽然教师安排了指一指已学过的平面图形的周长在哪，这样的活动可以让学生获得丰富的正例经验，但这种经验很容易受到画图经验的干扰。因为儿童天生喜欢画图，在操作时他不一定真正理解并运用周长的本质属性，而可能只是“照形画形”。基于这样的思考，教师安排了比较两位学生指长方形周长所在的边的异同和思考圆的周长怎么指的情境，目的是为了排除画图经验的干扰，突出周长概念的本质属性，即一周的长度。同时，再设置一个反例来引发学生回顾、反思、比较，这可以促使学生把内隐的经验知识外显化，在反省、运用已有经验的过程中实现创造和生长，学生通过同化或顺应的方式把周长概念的核心意义建立在自己的认识世界里。可见，加强反省、概括和运用的活动，可以很好地帮助学生理解概念的本质意义。

4.巩固运用

师：你能用彩笔描出城堡图（如图6）周长所在的边吗？

■

（展示学生的作品，如图7）

■

师：这里有两位同学的描法，你支持谁的想法？

生（交流后得出结论）：要沿图形的边线描。

师：现在有一张长方形纸，从这张长方形纸上像这样剪下一个小正方形（如图8），你觉得与原来的长方形相比，哪幅图的“周长”长一些？

■

生1：第（1） 幅图的周长长一些。

生2：一样长。

师：其他同学支持谁的观点？说说你的理由。

生3：我也认为是一样长。因为可以通过平移的办法把第（2）幅图的周长变成和第（1）幅图一样。（演示）

师：如果像这样剪掉一个正方形（如图9），这时与原来的长方形相比，哪幅图的周长长一些？

■

生：第（4）幅的周长长一些。

师：这时怎么又不一样长了？（交流后演示）

师：通过刚才的比较，你发现了什么？

生1：长方形剪掉一个正方形，周长没有减少。

生2：有时会一样长，有时还是剪掉后的周长长一些。

生3：我们不能被外表欺骗，因为周长是图形一周的长度。

……

[分析与思考]通过变式的练习可以帮助学生深刻理解概念的意义。教师通过设置找组合图形的周长来激发学生的探究欲和思考力，使学生在运用知识来解决新问题的过程中凸显思维的张力。因为我们的教学绝不仅仅只是为了实现知识的达成，数学思维能力的培养同样要渗透在教学过程中。教师最后安排了“在一张长方形纸上剪掉一个正方形，比较这时的周长与原来图形的周长”的学习活动，是为了通过“面积”的大小变化来干扰学生对“周长”的判断，试图进一步拓展学生对“周长”概念的本质理解，以便能区分“周长”与“面积”的不同内涵。学生在观察、比较、想象、操作、归纳等活动中，不仅积累了丰富的认知经验，同时也发展了空间观念和抽象思维。最后学生的小结更让我们欣喜地看到，他们在这样的过程中也收获了情感体验和认识的提升。

（责编 金 铃）

生8：面大也不一定周长长一些。

生9：周长是一周的长度，不看里面的。

生10：边线越曲折，它的周长会越长。

……

[分析与思考]研究表明，为学生提供有层次性的、与数学本质一样的活动情境，让学生获得足够的替代性经验，可以有效地帮助学生从现实经验中抽象出数学概念和结构。因此，教师安排了观察蚂蚁爬桑叶来让学生思考蚂蚁爬过的路线长度是不是这片桑叶的周长，很好地使每一个学生在参与观察、思考、交流的活动中，获得具体经验，即要从起点回到起点、要绕边线，实现了对自己生活经验的加工改造。然后再让学生经历指一指、比一比的活动，促进他们把获得的经验进行内化，进一步获得了合乎逻辑的、抽象的经验，即周长的实质是一周的长度。把一周的边线拉直就是以前的长度知识，亦可测量、比较，打通了新旧知识间的联系。

3.理解本质

师：我们还学过一些平面图形。

■

图4

师：你能指出这些图形（如图4）的周长吗？指给同桌看一看。

师：谁上来指长方形的给大家看一看？（让一名学生上讲台指）

师：有跟他指的不一样的吗？（不同指法展示）

师：他们刚才哪里不一样？

生1：他们指的方向不一样。

生2：他们指的起点也不一样。

师：为什么他们指的方向和起点都不一样也都可以呢？

生3：因为他们都指了长方形的一周。

师：有人说圆这个图形很难指的，你知道为什么吗？

生4：我们不知道从哪里开始，指的时候有可能指过头了，或者还没有到起点就停下来了。

师：有什么办法克服吗？

生5：做个起点的记号。

师：谁来试一试？（学生演示）

师：根据你现在对周长的理解，你觉得下面这个图形有周长吗？

■

生6：有周长。

生7：没有周长。

师：说说你们的想法？

生8：没有周长。因为回不到起点了。

生9：这个图形有开口，没有一周。

师：那你能把这个没有周长的图形变成一个有周长的图形吗？

（展示学生的作品，如图5）

■

图5

师：看来只有像这样没有缺口的图形才有“周长”。像这样的图形我们简称为封闭图形（板书：封闭图形）。只有封闭图形才有一周的长度。

[分析与思考]对一个概念本质属性的准确把握，不仅需要丰富的正例，也需要通过将其和反例进行比较，才能剔除非本质的属性，从而理解概念的本质意义。因此，虽然教师安排了指一指已学过的平面图形的周长在哪，这样的活动可以让学生获得丰富的正例经验，但这种经验很容易受到画图经验的干扰。因为儿童天生喜欢画图，在操作时他不一定真正理解并运用周长的本质属性，而可能只是“照形画形”。基于这样的思考，教师安排了比较两位学生指长方形周长所在的边的异同和思考圆的周长怎么指的情境，目的是为了排除画图经验的干扰，突出周长概念的本质属性，即一周的长度。同时，再设置一个反例来引发学生回顾、反思、比较，这可以促使学生把内隐的经验知识外显化，在反省、运用已有经验的过程中实现创造和生长，学生通过同化或顺应的方式把周长概念的核心意义建立在自己的认识世界里。可见，加强反省、概括和运用的活动，可以很好地帮助学生理解概念的本质意义。

4.巩固运用

师：你能用彩笔描出城堡图（如图6）周长所在的边吗？

■

（展示学生的作品，如图7）

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师：这里有两位同学的描法，你支持谁的想法？

生（交流后得出结论）：要沿图形的边线描。

师：现在有一张长方形纸，从这张长方形纸上像这样剪下一个小正方形（如图8），你觉得与原来的长方形相比，哪幅图的“周长”长一些？

■

生1：第（1） 幅图的周长长一些。

生2：一样长。

师：其他同学支持谁的观点？说说你的理由。

生3：我也认为是一样长。因为可以通过平移的办法把第（2）幅图的周长变成和第（1）幅图一样。（演示）

师：如果像这样剪掉一个正方形（如图9），这时与原来的长方形相比，哪幅图的周长长一些？

■

生：第（4）幅的周长长一些。

师：这时怎么又不一样长了？（交流后演示）

师：通过刚才的比较，你发现了什么？

生1：长方形剪掉一个正方形，周长没有减少。

生2：有时会一样长，有时还是剪掉后的周长长一些。

生3：我们不能被外表欺骗，因为周长是图形一周的长度。

……

[分析与思考]通过变式的练习可以帮助学生深刻理解概念的意义。教师通过设置找组合图形的周长来激发学生的探究欲和思考力，使学生在运用知识来解决新问题的过程中凸显思维的张力。因为我们的教学绝不仅仅只是为了实现知识的达成，数学思维能力的培养同样要渗透在教学过程中。教师最后安排了“在一张长方形纸上剪掉一个正方形，比较这时的周长与原来图形的周长”的学习活动，是为了通过“面积”的大小变化来干扰学生对“周长”的判断，试图进一步拓展学生对“周长”概念的本质理解，以便能区分“周长”与“面积”的不同内涵。学生在观察、比较、想象、操作、归纳等活动中，不仅积累了丰富的认知经验，同时也发展了空间观念和抽象思维。最后学生的小结更让我们欣喜地看到，他们在这样的过程中也收获了情感体验和认识的提升。

（责编 金 铃）

生8：面大也不一定周长长一些。

生9：周长是一周的长度，不看里面的。

生10：边线越曲折，它的周长会越长。

……

[分析与思考]研究表明，为学生提供有层次性的、与数学本质一样的活动情境，让学生获得足够的替代性经验，可以有效地帮助学生从现实经验中抽象出数学概念和结构。因此，教师安排了观察蚂蚁爬桑叶来让学生思考蚂蚁爬过的路线长度是不是这片桑叶的周长，很好地使每一个学生在参与观察、思考、交流的活动中，获得具体经验，即要从起点回到起点、要绕边线，实现了对自己生活经验的加工改造。然后再让学生经历指一指、比一比的活动，促进他们把获得的经验进行内化，进一步获得了合乎逻辑的、抽象的经验，即周长的实质是一周的长度。把一周的边线拉直就是以前的长度知识，亦可测量、比较，打通了新旧知识间的联系。

3.理解本质

师：我们还学过一些平面图形。

■

图4

师：你能指出这些图形（如图4）的周长吗？指给同桌看一看。

师：谁上来指长方形的给大家看一看？（让一名学生上讲台指）

师：有跟他指的不一样的吗？（不同指法展示）

师：他们刚才哪里不一样？

生1：他们指的方向不一样。

生2：他们指的起点也不一样。

师：为什么他们指的方向和起点都不一样也都可以呢？

生3：因为他们都指了长方形的一周。

师：有人说圆这个图形很难指的，你知道为什么吗？

生4：我们不知道从哪里开始，指的时候有可能指过头了，或者还没有到起点就停下来了。

师：有什么办法克服吗？

生5：做个起点的记号。

师：谁来试一试？（学生演示）

师：根据你现在对周长的理解，你觉得下面这个图形有周长吗？

■

生6：有周长。

生7：没有周长。

师：说说你们的想法？

生8：没有周长。因为回不到起点了。

生9：这个图形有开口，没有一周。

师：那你能把这个没有周长的图形变成一个有周长的图形吗？

（展示学生的作品，如图5）

■

图5

师：看来只有像这样没有缺口的图形才有“周长”。像这样的图形我们简称为封闭图形（板书：封闭图形）。只有封闭图形才有一周的长度。

[分析与思考]对一个概念本质属性的准确把握，不仅需要丰富的正例，也需要通过将其和反例进行比较，才能剔除非本质的属性，从而理解概念的本质意义。因此，虽然教师安排了指一指已学过的平面图形的周长在哪，这样的活动可以让学生获得丰富的正例经验，但这种经验很容易受到画图经验的干扰。因为儿童天生喜欢画图，在操作时他不一定真正理解并运用周长的本质属性，而可能只是“照形画形”。基于这样的思考，教师安排了比较两位学生指长方形周长所在的边的异同和思考圆的周长怎么指的情境，目的是为了排除画图经验的干扰，突出周长概念的本质属性，即一周的长度。同时，再设置一个反例来引发学生回顾、反思、比较，这可以促使学生把内隐的经验知识外显化，在反省、运用已有经验的过程中实现创造和生长，学生通过同化或顺应的方式把周长概念的核心意义建立在自己的认识世界里。可见，加强反省、概括和运用的活动，可以很好地帮助学生理解概念的本质意义。

4.巩固运用

师：你能用彩笔描出城堡图（如图6）周长所在的边吗？

■

（展示学生的作品，如图7）

■

师：这里有两位同学的描法，你支持谁的想法？

生（交流后得出结论）：要沿图形的边线描。

师：现在有一张长方形纸，从这张长方形纸上像这样剪下一个小正方形（如图8），你觉得与原来的长方形相比，哪幅图的“周长”长一些？

■

生1：第（1） 幅图的周长长一些。

生2：一样长。

师：其他同学支持谁的观点？说说你的理由。

生3：我也认为是一样长。因为可以通过平移的办法把第（2）幅图的周长变成和第（1）幅图一样。（演示）

师：如果像这样剪掉一个正方形（如图9），这时与原来的长方形相比，哪幅图的周长长一些？

■

生：第（4）幅的周长长一些。

师：这时怎么又不一样长了？（交流后演示）

师：通过刚才的比较，你发现了什么？

生1：长方形剪掉一个正方形，周长没有减少。

生2：有时会一样长，有时还是剪掉后的周长长一些。

生3：我们不能被外表欺骗，因为周长是图形一周的长度。

……

[分析与思考]通过变式的练习可以帮助学生深刻理解概念的意义。教师通过设置找组合图形的周长来激发学生的探究欲和思考力，使学生在运用知识来解决新问题的过程中凸显思维的张力。因为我们的教学绝不仅仅只是为了实现知识的达成，数学思维能力的培养同样要渗透在教学过程中。教师最后安排了“在一张长方形纸上剪掉一个正方形，比较这时的周长与原来图形的周长”的学习活动，是为了通过“面积”的大小变化来干扰学生对“周长”的判断，试图进一步拓展学生对“周长”概念的本质理解，以便能区分“周长”与“面积”的不同内涵。学生在观察、比较、想象、操作、归纳等活动中，不仅积累了丰富的认知经验，同时也发展了空间观念和抽象思维。最后学生的小结更让我们欣喜地看到，他们在这样的过程中也收获了情感体验和认识的提升。

（责编 金 铃）