有效改组习题 促进经验生长

李正祥

《数学课程标准》指出：“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。同时，《数学课程标准》也指出：“数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀，是在学生学习过程中逐步积累的。”笔者为此做了一些尝试，对教材中的习题进行有效改组，挖掘习题的隐性价值，设计出一道道富有挑战性的问题，引发学生独立思考、自主探究和合作交流，并开展多种形式的数学活动，引导他们经历问题的解决过程，积累基本的活动经验。现结合六年级教材“分数的四则混合运算”章节中的一道习题，谈谈自己的做法。

课本问题：

1.画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，把这个长方形的长和宽分别增加■后，各是多少厘米？现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.任意画一个长方形，再把长方形的长和宽增加■，现在的长方形面积是原来的几分之几？

比较两题的结果，你有什么发现？

教材的编写意图是：从特殊到一般，引导学生举多个例子进行验证，并运用不完全归纳法逐步发现其中的变化规律。如果按这样的程序进行教学，学生往往缺少独立思考的机会，总是按照教师的要求一步一步地操作、演算，很难让学生经历探究的过程，更谈不上活动经验的积累。

笔者发现，这两道题经过改组、合并后，可以提出具有挑战性的问题，能引发学生探究的兴趣，激发他们解决问题的欲望，培养自主分析、解决问题的能力，促进活动经验的生长。为此，笔者直接抛出如下问题：把一个长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？学生开始感到困难，不知从何处下手解决问题。很快，有些学生便开始在草稿纸上画图、演算，有些学生则围在一起展开了热烈的讨论，几分钟后全班交流、展示。

方法（1）：假设长6厘米、宽4厘米（图略），并计算出现在长方形的面积和原来长方形的面积，得到现在长方形的面积是原来的■。

交流后，部分学生提出他们也是假设长和宽为具体的数据，但不是6厘米和4厘米，不过结论一致。少数学生提出，假设具体的数据是一种好方法，但是不能穷尽所有的数据，这样得到的结论可能正确，也可能不正确。

方法2：假设长是a，宽是b。计算得出现在的长是■a，宽是■b，现在的面积是■ab。因为原来的面积是ab，所以现在的面积是原来的■。

交流后，多数学生认为这种方法好，把方法（1）中具体数据的列举变成字母计算，涵盖了所有的情况，得到的结论一定是正确的。这时，有个别学生开始坐不住了，觉得还有更简洁的方法。

方法（3）：把长看作“1”，宽也看作“1”，那么现在的长就是原来的■，宽也是原来的■，■×■=■，得出现在的面积就是原来的■。

“一石激起千层浪”，教室像炸开了的锅，有些学生开始质疑：“长和宽都是‘1，那是正方形了，我们研究的是长方形。”有些学生立刻说：“正方形是特殊的长方形。”也有的学生说：“这里的‘1并非指计量单位，而是把长看作单位‘1，宽也看作单位‘1，这两个单位‘1可以表示不同的长度，所以结论是正确的。”……随后，学生进行以下变式练习。

出示题目：

1.把一个长方形的长减少■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.把一个长方形的长增加■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

在练习第1题时，很多学生坚持自己的想法，仍然运用方法（1）进行计算，还有部分学生用方法（2）进行计算，其余学生都用方法（3）直接计算，很快就得出了结果。到练习第2题时，几乎所有的学生都用方法（3）进行计算，当笔者问他们为什么不再用方法（1）或方法（2）计算时，他们都觉得验证的过程已经证明方法（3）是可行的。

笔者觉得通过这样的习题改组，使学生经历独立思考、合作探究的过程，对学生的经验生长有以下几个好处。

一、唤醒已有经验

学生在学习过程中已经积累了很多基本经验，如操作的经验、探究的经验、推理的经验等。每次学习并不是都能获取新的经验，而是运用已有的经验展开新知识的探究和学习。因此，成功地唤醒学生的已有经验，利用已有经验组织、展开教学至关重要。学生在之前的学习中已经积累的经验至少有三种：一是操作的经验，也就是画图表达题意，从图中获得必需的数据进行演算；二是探究的经验，不完全归纳是小学阶段常见的探究方法，在以前的学习过程中经常用到；三是类比的经验，学生往往习惯于在不同的解决方法之间进行类比，从而获得更高层次的活动经验，得到更快捷、更简单的解决问题的方法。改组习题后，不同的学生根据自己的经验，采取不同的解决问题的方法，表现出学生对经验的积累层次不一。这时提出有挑战性的问题，能唤醒学生的已有经验，有利于运用不同层次的经验解决问题，同时回顾、发展、提升了经验，使经验不断地得到生长。

二、有利经验改造

美国组织行为学教授库伯提出的经验学习理论认为：“学习是始于经验，然后回归于经验、改造或者转化经验、创造知识的过程。”小学生的经验生长是从直观、具体、形象逐步走向抽象、方法、建模的过程，一开始多表现为经历活动后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直观的、形象的体验，到了高年级后，学生会不断地在已有经验的基础上反思、提升、改造自己的学习经验。教师应在这个过程中提供真实的、富有挑战性的研究问题，不断地冲击着学生的已有经验，激发学生改造经验的欲望。笔者在改编这道题之前，进行了学情调研，发现学生对图形中具体的数据十分注重，且运用数据计算发现规律的经验已经形成，但是缺少数据时学生往往没有探究的经验和方法，不知如何入手。为此，笔者改编这道习题，旨在激发学生的已有经验，并不断引导学生改造经验，使学生获得解决这类问题的研究性经验。通过尝试，学生从具体的图形和数据到抽象的字母表达再到模式、策略化的研究，使已有的经验得到了改造。

三、获取新的经验

“获得基本的活动经验”是一个十分重要的课程目标。学生在学习过程中获取一定数量的基本活动经验，是实现过程方法目标的基本载体。学生达到“学会学习”最直接的学习结果，就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力的发展，使某些活动经验积淀为策略性知识、数学学科的基本思想，甚至某些经验还会成为学习的智慧和能力。通过改编习题，让学生产生挑战问题的欲望，进而寻求合适的方法解决问题，品尝到成功的喜悦。同时，通过教师的适时点拨，不断地引导学生进行自我反思，使学生获得一些新的经验。如上述案例，学生经历了独立思考、合作探究、对比冲突、改进提升的过程，从直观到抽象、从特殊到一般、从不完全归纳到完全归纳，对解决问题的方法有了质的飞跃，增长了探究性经验，获取了新的解决问题的经验，今后遇到此类问题时定会从容解决。

（责编 杜 华）endprint

《数学课程标准》指出：“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。同时，《数学课程标准》也指出：“数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀，是在学生学习过程中逐步积累的。”笔者为此做了一些尝试，对教材中的习题进行有效改组，挖掘习题的隐性价值，设计出一道道富有挑战性的问题，引发学生独立思考、自主探究和合作交流，并开展多种形式的数学活动，引导他们经历问题的解决过程，积累基本的活动经验。现结合六年级教材“分数的四则混合运算”章节中的一道习题，谈谈自己的做法。

课本问题：

1.画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，把这个长方形的长和宽分别增加■后，各是多少厘米？现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.任意画一个长方形，再把长方形的长和宽增加■，现在的长方形面积是原来的几分之几？

比较两题的结果，你有什么发现？

教材的编写意图是：从特殊到一般，引导学生举多个例子进行验证，并运用不完全归纳法逐步发现其中的变化规律。如果按这样的程序进行教学，学生往往缺少独立思考的机会，总是按照教师的要求一步一步地操作、演算，很难让学生经历探究的过程，更谈不上活动经验的积累。

笔者发现，这两道题经过改组、合并后，可以提出具有挑战性的问题，能引发学生探究的兴趣，激发他们解决问题的欲望，培养自主分析、解决问题的能力，促进活动经验的生长。为此，笔者直接抛出如下问题：把一个长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？学生开始感到困难，不知从何处下手解决问题。很快，有些学生便开始在草稿纸上画图、演算，有些学生则围在一起展开了热烈的讨论，几分钟后全班交流、展示。

方法（1）：假设长6厘米、宽4厘米（图略），并计算出现在长方形的面积和原来长方形的面积，得到现在长方形的面积是原来的■。

交流后，部分学生提出他们也是假设长和宽为具体的数据，但不是6厘米和4厘米，不过结论一致。少数学生提出，假设具体的数据是一种好方法，但是不能穷尽所有的数据，这样得到的结论可能正确，也可能不正确。

方法2：假设长是a，宽是b。计算得出现在的长是■a，宽是■b，现在的面积是■ab。因为原来的面积是ab，所以现在的面积是原来的■。

交流后，多数学生认为这种方法好，把方法（1）中具体数据的列举变成字母计算，涵盖了所有的情况，得到的结论一定是正确的。这时，有个别学生开始坐不住了，觉得还有更简洁的方法。

方法（3）：把长看作“1”，宽也看作“1”，那么现在的长就是原来的■，宽也是原来的■，■×■=■，得出现在的面积就是原来的■。

“一石激起千层浪”，教室像炸开了的锅，有些学生开始质疑：“长和宽都是‘1，那是正方形了，我们研究的是长方形。”有些学生立刻说：“正方形是特殊的长方形。”也有的学生说：“这里的‘1并非指计量单位，而是把长看作单位‘1，宽也看作单位‘1，这两个单位‘1可以表示不同的长度，所以结论是正确的。”……随后，学生进行以下变式练习。

出示题目：

1.把一个长方形的长减少■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.把一个长方形的长增加■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

在练习第1题时，很多学生坚持自己的想法，仍然运用方法（1）进行计算，还有部分学生用方法（2）进行计算，其余学生都用方法（3）直接计算，很快就得出了结果。到练习第2题时，几乎所有的学生都用方法（3）进行计算，当笔者问他们为什么不再用方法（1）或方法（2）计算时，他们都觉得验证的过程已经证明方法（3）是可行的。

笔者觉得通过这样的习题改组，使学生经历独立思考、合作探究的过程，对学生的经验生长有以下几个好处。

一、唤醒已有经验

学生在学习过程中已经积累了很多基本经验，如操作的经验、探究的经验、推理的经验等。每次学习并不是都能获取新的经验，而是运用已有的经验展开新知识的探究和学习。因此，成功地唤醒学生的已有经验，利用已有经验组织、展开教学至关重要。学生在之前的学习中已经积累的经验至少有三种：一是操作的经验，也就是画图表达题意，从图中获得必需的数据进行演算；二是探究的经验，不完全归纳是小学阶段常见的探究方法，在以前的学习过程中经常用到；三是类比的经验，学生往往习惯于在不同的解决方法之间进行类比，从而获得更高层次的活动经验，得到更快捷、更简单的解决问题的方法。改组习题后，不同的学生根据自己的经验，采取不同的解决问题的方法，表现出学生对经验的积累层次不一。这时提出有挑战性的问题，能唤醒学生的已有经验，有利于运用不同层次的经验解决问题，同时回顾、发展、提升了经验，使经验不断地得到生长。

二、有利经验改造

美国组织行为学教授库伯提出的经验学习理论认为：“学习是始于经验，然后回归于经验、改造或者转化经验、创造知识的过程。”小学生的经验生长是从直观、具体、形象逐步走向抽象、方法、建模的过程，一开始多表现为经历活动后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直观的、形象的体验，到了高年级后，学生会不断地在已有经验的基础上反思、提升、改造自己的学习经验。教师应在这个过程中提供真实的、富有挑战性的研究问题，不断地冲击着学生的已有经验，激发学生改造经验的欲望。笔者在改编这道题之前，进行了学情调研，发现学生对图形中具体的数据十分注重，且运用数据计算发现规律的经验已经形成，但是缺少数据时学生往往没有探究的经验和方法，不知如何入手。为此，笔者改编这道习题，旨在激发学生的已有经验，并不断引导学生改造经验，使学生获得解决这类问题的研究性经验。通过尝试，学生从具体的图形和数据到抽象的字母表达再到模式、策略化的研究，使已有的经验得到了改造。

三、获取新的经验

“获得基本的活动经验”是一个十分重要的课程目标。学生在学习过程中获取一定数量的基本活动经验，是实现过程方法目标的基本载体。学生达到“学会学习”最直接的学习结果，就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力的发展，使某些活动经验积淀为策略性知识、数学学科的基本思想，甚至某些经验还会成为学习的智慧和能力。通过改编习题，让学生产生挑战问题的欲望，进而寻求合适的方法解决问题，品尝到成功的喜悦。同时，通过教师的适时点拨，不断地引导学生进行自我反思，使学生获得一些新的经验。如上述案例，学生经历了独立思考、合作探究、对比冲突、改进提升的过程，从直观到抽象、从特殊到一般、从不完全归纳到完全归纳，对解决问题的方法有了质的飞跃，增长了探究性经验，获取了新的解决问题的经验，今后遇到此类问题时定会从容解决。

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《数学课程标准》指出：“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。同时，《数学课程标准》也指出：“数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀，是在学生学习过程中逐步积累的。”笔者为此做了一些尝试，对教材中的习题进行有效改组，挖掘习题的隐性价值，设计出一道道富有挑战性的问题，引发学生独立思考、自主探究和合作交流，并开展多种形式的数学活动，引导他们经历问题的解决过程，积累基本的活动经验。现结合六年级教材“分数的四则混合运算”章节中的一道习题，谈谈自己的做法。

课本问题：

1.画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，把这个长方形的长和宽分别增加■后，各是多少厘米？现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.任意画一个长方形，再把长方形的长和宽增加■，现在的长方形面积是原来的几分之几？

比较两题的结果，你有什么发现？

教材的编写意图是：从特殊到一般，引导学生举多个例子进行验证，并运用不完全归纳法逐步发现其中的变化规律。如果按这样的程序进行教学，学生往往缺少独立思考的机会，总是按照教师的要求一步一步地操作、演算，很难让学生经历探究的过程，更谈不上活动经验的积累。

笔者发现，这两道题经过改组、合并后，可以提出具有挑战性的问题，能引发学生探究的兴趣，激发他们解决问题的欲望，培养自主分析、解决问题的能力，促进活动经验的生长。为此，笔者直接抛出如下问题：把一个长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？学生开始感到困难，不知从何处下手解决问题。很快，有些学生便开始在草稿纸上画图、演算，有些学生则围在一起展开了热烈的讨论，几分钟后全班交流、展示。

方法（1）：假设长6厘米、宽4厘米（图略），并计算出现在长方形的面积和原来长方形的面积，得到现在长方形的面积是原来的■。

交流后，部分学生提出他们也是假设长和宽为具体的数据，但不是6厘米和4厘米，不过结论一致。少数学生提出，假设具体的数据是一种好方法，但是不能穷尽所有的数据，这样得到的结论可能正确，也可能不正确。

方法2：假设长是a，宽是b。计算得出现在的长是■a，宽是■b，现在的面积是■ab。因为原来的面积是ab，所以现在的面积是原来的■。

交流后，多数学生认为这种方法好，把方法（1）中具体数据的列举变成字母计算，涵盖了所有的情况，得到的结论一定是正确的。这时，有个别学生开始坐不住了，觉得还有更简洁的方法。

方法（3）：把长看作“1”，宽也看作“1”，那么现在的长就是原来的■，宽也是原来的■，■×■=■，得出现在的面积就是原来的■。

“一石激起千层浪”，教室像炸开了的锅，有些学生开始质疑：“长和宽都是‘1，那是正方形了，我们研究的是长方形。”有些学生立刻说：“正方形是特殊的长方形。”也有的学生说：“这里的‘1并非指计量单位，而是把长看作单位‘1，宽也看作单位‘1，这两个单位‘1可以表示不同的长度，所以结论是正确的。”……随后，学生进行以下变式练习。

出示题目：

1.把一个长方形的长减少■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

2.把一个长方形的长增加■，宽减少■，现在长方形的面积是原来的几分之几？

在练习第1题时，很多学生坚持自己的想法，仍然运用方法（1）进行计算，还有部分学生用方法（2）进行计算，其余学生都用方法（3）直接计算，很快就得出了结果。到练习第2题时，几乎所有的学生都用方法（3）进行计算，当笔者问他们为什么不再用方法（1）或方法（2）计算时，他们都觉得验证的过程已经证明方法（3）是可行的。

笔者觉得通过这样的习题改组，使学生经历独立思考、合作探究的过程，对学生的经验生长有以下几个好处。

一、唤醒已有经验

学生在学习过程中已经积累了很多基本经验，如操作的经验、探究的经验、推理的经验等。每次学习并不是都能获取新的经验，而是运用已有的经验展开新知识的探究和学习。因此，成功地唤醒学生的已有经验，利用已有经验组织、展开教学至关重要。学生在之前的学习中已经积累的经验至少有三种：一是操作的经验，也就是画图表达题意，从图中获得必需的数据进行演算；二是探究的经验，不完全归纳是小学阶段常见的探究方法，在以前的学习过程中经常用到；三是类比的经验，学生往往习惯于在不同的解决方法之间进行类比，从而获得更高层次的活动经验，得到更快捷、更简单的解决问题的方法。改组习题后，不同的学生根据自己的经验，采取不同的解决问题的方法，表现出学生对经验的积累层次不一。这时提出有挑战性的问题，能唤醒学生的已有经验，有利于运用不同层次的经验解决问题，同时回顾、发展、提升了经验，使经验不断地得到生长。

二、有利经验改造

美国组织行为学教授库伯提出的经验学习理论认为：“学习是始于经验，然后回归于经验、改造或者转化经验、创造知识的过程。”小学生的经验生长是从直观、具体、形象逐步走向抽象、方法、建模的过程，一开始多表现为经历活动后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直观的、形象的体验，到了高年级后，学生会不断地在已有经验的基础上反思、提升、改造自己的学习经验。教师应在这个过程中提供真实的、富有挑战性的研究问题，不断地冲击着学生的已有经验，激发学生改造经验的欲望。笔者在改编这道题之前，进行了学情调研，发现学生对图形中具体的数据十分注重，且运用数据计算发现规律的经验已经形成，但是缺少数据时学生往往没有探究的经验和方法，不知如何入手。为此，笔者改编这道习题，旨在激发学生的已有经验，并不断引导学生改造经验，使学生获得解决这类问题的研究性经验。通过尝试，学生从具体的图形和数据到抽象的字母表达再到模式、策略化的研究，使已有的经验得到了改造。

三、获取新的经验

“获得基本的活动经验”是一个十分重要的课程目标。学生在学习过程中获取一定数量的基本活动经验，是实现过程方法目标的基本载体。学生达到“学会学习”最直接的学习结果，就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力的发展，使某些活动经验积淀为策略性知识、数学学科的基本思想，甚至某些经验还会成为学习的智慧和能力。通过改编习题，让学生产生挑战问题的欲望，进而寻求合适的方法解决问题，品尝到成功的喜悦。同时，通过教师的适时点拨，不断地引导学生进行自我反思，使学生获得一些新的经验。如上述案例，学生经历了独立思考、合作探究、对比冲突、改进提升的过程，从直观到抽象、从特殊到一般、从不完全归纳到完全归纳，对解决问题的方法有了质的飞跃，增长了探究性经验，获取了新的解决问题的经验，今后遇到此类问题时定会从容解决。

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