深化探究过程 发展数学思维

董文婷

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔首次提出数学学习是一个“抽象——符号——应用”的过程，认为这正是数学探索的过程。学生只有经历有效的数学探索，才能领悟到最基本的数学思想和方法，发展数学思维，提高数学素养。笔者认为，深化数学探究过程是发展数学思维的有效途径。现以“平行四边形的面积计算”一课教学为例，谈谈自己的体会。

一、从旧知引入新知，数学探究活动化

数学知识本身有着固有的结构体系，所以可以通过新旧知识间的沟通，以活动化的操作方式复习旧知，使新知获得生长。我先让学生过A、B两点画一条直线，然后在A、B外的C点画出到直线AB的距离，再过直线外C点画直线AB的平行线，最后以线段AB为底，以C点到直线AB的距离为高，画一个平行四边形。学生通过动手操作，建立了平行四边形的知识链接，使学生在复习平行四边形知识的同时获得新知。

为了帮助学生梳理平行四边形的认知体系，建立空间观念，我出示平行四边形的画法（如图1），让学生判断是否正确。学生在观察和辨别之后，理解长方形是特殊的平行四边形，并包含以下特点：四个角都是直角，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽。通过数学探究的操作活动，学生构建了平行四边形的知识体系，为下一步长方形的探讨奠定基础。

■

图1

二、概括数理表征，数学探究逻辑化

数学探究是运用数学方法观察世界、分析与解决问题的过程。数学课堂的探究活动要求学生将实际问题抽象成数学模型，因此教师就要从“学”的角度设计教学活动，引导学生探索，将数学探究逻辑化。

传统教学是将未知的平行四边形面积转化为已知的长方形面积计算，而我在教学中采用“割——移——补”的方法，让学生体验平行四边形与长方形的互相转化。我先出示面积相等的两个长方形和平行四边形，让学生观察它们之间的大小关系，学生认为两个图形一样大。“那如何验证这个猜想呢？”我通过课件演示，移动平行四边形，使之与长方形部分重叠，这样学生既弄清了两个图形之间的逻辑关系，也理清了思路：把平行四边形部分剪下，移到长方形的空白部分，正好补成一个长方形；把长方形的部分剪下，移到平行四边形的空白部分，正好补成一个平行四边形。那么，是否所有的平行四边形都可以通过这样割补的方法来转化成长方形呢？我让学生继续在探究中动手操作，以验证猜想，完善数学探究的逻辑化。学生通过画、拼、剪的方式，交流得出以下两种操作方法（课件展示）：1.顺着平行四边形的高，通过割、移、补，把平行四边形转化成长方形；2.将长方形对边进行割、移、补，把长方形转化成平行四边形。至此，学生完成了对长方形和平行四边形的互相转化，然后我让学生观察概括平行四边形的面积与哪些因素有关。学生发现平行四边形的面积与底和高有密切关系、底和高越大面积就越大，并由此推导出平行四边形的面积=底×高。通过观察比较、分析概括、归纳总结等数学探究过程，学生的探究能力得到了发展，夯实了数学基础知识。

三、问题解决为本质，数学探究实践化

数学探究是要使学生经历问题符号化的过程，建构数学模型，最终发展数学思维，并获得问题解决的策略和能力。

为了加强数学探究的实践训练，我从基础练习入手，先让学生求出指定的平行四边形的面积，再练习计算特殊图形的面积（如图2）。然后进行实际应用的强化拓展练习：有一块平行四边形的菜地（如图3），如果在它的四周围上篱笆，篱笆的总长度是多少？

■

图2 图3

在引导学生进行数学探究的同时，既要发展学生的基础知识和基本技能，也要让学生的思维走向深刻，着眼于学生的后续发展。为此，在实践训练中，本着问题解决的原则，我将练习设计体现出一定的层次性和灵活性，其目的是要加强学生对理论的实际应用，奠定良好的知识基础。

显而易见，数学探究的过程是一个从形象化到抽象化再到实践化的渐进过程，学生通过表征的建构，再到抽象的理解和体验，最终获得对数学思维的立体感受，达到数学认知的整体建构，这正是小学数学课堂探究的最终目标。

（责编 杜 华）endprint

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔首次提出数学学习是一个“抽象——符号——应用”的过程，认为这正是数学探索的过程。学生只有经历有效的数学探索，才能领悟到最基本的数学思想和方法，发展数学思维，提高数学素养。笔者认为，深化数学探究过程是发展数学思维的有效途径。现以“平行四边形的面积计算”一课教学为例，谈谈自己的体会。

一、从旧知引入新知，数学探究活动化

数学知识本身有着固有的结构体系，所以可以通过新旧知识间的沟通，以活动化的操作方式复习旧知，使新知获得生长。我先让学生过A、B两点画一条直线，然后在A、B外的C点画出到直线AB的距离，再过直线外C点画直线AB的平行线，最后以线段AB为底，以C点到直线AB的距离为高，画一个平行四边形。学生通过动手操作，建立了平行四边形的知识链接，使学生在复习平行四边形知识的同时获得新知。

为了帮助学生梳理平行四边形的认知体系，建立空间观念，我出示平行四边形的画法（如图1），让学生判断是否正确。学生在观察和辨别之后，理解长方形是特殊的平行四边形，并包含以下特点：四个角都是直角，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽。通过数学探究的操作活动，学生构建了平行四边形的知识体系，为下一步长方形的探讨奠定基础。

■

图1

二、概括数理表征，数学探究逻辑化

数学探究是运用数学方法观察世界、分析与解决问题的过程。数学课堂的探究活动要求学生将实际问题抽象成数学模型，因此教师就要从“学”的角度设计教学活动，引导学生探索，将数学探究逻辑化。

传统教学是将未知的平行四边形面积转化为已知的长方形面积计算，而我在教学中采用“割——移——补”的方法，让学生体验平行四边形与长方形的互相转化。我先出示面积相等的两个长方形和平行四边形，让学生观察它们之间的大小关系，学生认为两个图形一样大。“那如何验证这个猜想呢？”我通过课件演示，移动平行四边形，使之与长方形部分重叠，这样学生既弄清了两个图形之间的逻辑关系，也理清了思路：把平行四边形部分剪下，移到长方形的空白部分，正好补成一个长方形；把长方形的部分剪下，移到平行四边形的空白部分，正好补成一个平行四边形。那么，是否所有的平行四边形都可以通过这样割补的方法来转化成长方形呢？我让学生继续在探究中动手操作，以验证猜想，完善数学探究的逻辑化。学生通过画、拼、剪的方式，交流得出以下两种操作方法（课件展示）：1.顺着平行四边形的高，通过割、移、补，把平行四边形转化成长方形；2.将长方形对边进行割、移、补，把长方形转化成平行四边形。至此，学生完成了对长方形和平行四边形的互相转化，然后我让学生观察概括平行四边形的面积与哪些因素有关。学生发现平行四边形的面积与底和高有密切关系、底和高越大面积就越大，并由此推导出平行四边形的面积=底×高。通过观察比较、分析概括、归纳总结等数学探究过程，学生的探究能力得到了发展，夯实了数学基础知识。

三、问题解决为本质，数学探究实践化

数学探究是要使学生经历问题符号化的过程，建构数学模型，最终发展数学思维，并获得问题解决的策略和能力。

为了加强数学探究的实践训练，我从基础练习入手，先让学生求出指定的平行四边形的面积，再练习计算特殊图形的面积（如图2）。然后进行实际应用的强化拓展练习：有一块平行四边形的菜地（如图3），如果在它的四周围上篱笆，篱笆的总长度是多少？

■

图2 图3

在引导学生进行数学探究的同时，既要发展学生的基础知识和基本技能，也要让学生的思维走向深刻，着眼于学生的后续发展。为此，在实践训练中，本着问题解决的原则，我将练习设计体现出一定的层次性和灵活性，其目的是要加强学生对理论的实际应用，奠定良好的知识基础。

显而易见，数学探究的过程是一个从形象化到抽象化再到实践化的渐进过程，学生通过表征的建构，再到抽象的理解和体验，最终获得对数学思维的立体感受，达到数学认知的整体建构，这正是小学数学课堂探究的最终目标。

（责编 杜 华）endprint

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔首次提出数学学习是一个“抽象——符号——应用”的过程，认为这正是数学探索的过程。学生只有经历有效的数学探索，才能领悟到最基本的数学思想和方法，发展数学思维，提高数学素养。笔者认为，深化数学探究过程是发展数学思维的有效途径。现以“平行四边形的面积计算”一课教学为例，谈谈自己的体会。

一、从旧知引入新知，数学探究活动化

数学知识本身有着固有的结构体系，所以可以通过新旧知识间的沟通，以活动化的操作方式复习旧知，使新知获得生长。我先让学生过A、B两点画一条直线，然后在A、B外的C点画出到直线AB的距离，再过直线外C点画直线AB的平行线，最后以线段AB为底，以C点到直线AB的距离为高，画一个平行四边形。学生通过动手操作，建立了平行四边形的知识链接，使学生在复习平行四边形知识的同时获得新知。

为了帮助学生梳理平行四边形的认知体系，建立空间观念，我出示平行四边形的画法（如图1），让学生判断是否正确。学生在观察和辨别之后，理解长方形是特殊的平行四边形，并包含以下特点：四个角都是直角，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽。通过数学探究的操作活动，学生构建了平行四边形的知识体系，为下一步长方形的探讨奠定基础。

■

图1

二、概括数理表征，数学探究逻辑化

数学探究是运用数学方法观察世界、分析与解决问题的过程。数学课堂的探究活动要求学生将实际问题抽象成数学模型，因此教师就要从“学”的角度设计教学活动，引导学生探索，将数学探究逻辑化。

传统教学是将未知的平行四边形面积转化为已知的长方形面积计算，而我在教学中采用“割——移——补”的方法，让学生体验平行四边形与长方形的互相转化。我先出示面积相等的两个长方形和平行四边形，让学生观察它们之间的大小关系，学生认为两个图形一样大。“那如何验证这个猜想呢？”我通过课件演示，移动平行四边形，使之与长方形部分重叠，这样学生既弄清了两个图形之间的逻辑关系，也理清了思路：把平行四边形部分剪下，移到长方形的空白部分，正好补成一个长方形；把长方形的部分剪下，移到平行四边形的空白部分，正好补成一个平行四边形。那么，是否所有的平行四边形都可以通过这样割补的方法来转化成长方形呢？我让学生继续在探究中动手操作，以验证猜想，完善数学探究的逻辑化。学生通过画、拼、剪的方式，交流得出以下两种操作方法（课件展示）：1.顺着平行四边形的高，通过割、移、补，把平行四边形转化成长方形；2.将长方形对边进行割、移、补，把长方形转化成平行四边形。至此，学生完成了对长方形和平行四边形的互相转化，然后我让学生观察概括平行四边形的面积与哪些因素有关。学生发现平行四边形的面积与底和高有密切关系、底和高越大面积就越大，并由此推导出平行四边形的面积=底×高。通过观察比较、分析概括、归纳总结等数学探究过程，学生的探究能力得到了发展，夯实了数学基础知识。

三、问题解决为本质，数学探究实践化

数学探究是要使学生经历问题符号化的过程，建构数学模型，最终发展数学思维，并获得问题解决的策略和能力。

为了加强数学探究的实践训练，我从基础练习入手，先让学生求出指定的平行四边形的面积，再练习计算特殊图形的面积（如图2）。然后进行实际应用的强化拓展练习：有一块平行四边形的菜地（如图3），如果在它的四周围上篱笆，篱笆的总长度是多少？

■

图2 图3

在引导学生进行数学探究的同时，既要发展学生的基础知识和基本技能，也要让学生的思维走向深刻，着眼于学生的后续发展。为此，在实践训练中，本着问题解决的原则，我将练习设计体现出一定的层次性和灵活性，其目的是要加强学生对理论的实际应用，奠定良好的知识基础。

显而易见，数学探究的过程是一个从形象化到抽象化再到实践化的渐进过程，学生通过表征的建构，再到抽象的理解和体验，最终获得对数学思维的立体感受，达到数学认知的整体建构，这正是小学数学课堂探究的最终目标。

（责编 杜 华）endprint