Mathematica绘图在微积分教学中的应用

贾屹峰 郑红芬 王志高

（中国劳动关系学院基础部，中国 北京 100045）

0 引言

在微积分教学中，描绘函数的图像必不可少，例如一元微积分中数列的极限、函数的间断点、曲线的凹凸性、函数的极值、拐点、拐点，二元函数的图像、多重积分的积分区域等。函数的图像在体现数学的美的同时，更重要的是使得许多重要的数学概念有了直观的表示，使得这些概念更容易理解。

利用传统的描点法绘图，不仅浪费时间，而且只能画出草图，即缺乏精确性，又不够直观。应用Mathematiea软件，可以利用简单的命令，不但能够在短时间内画出更直观、准确的图像，而且能以动画的形式演示。同时能够激发学生的学习兴趣，使得学生对相关的数学概念有更直观、更深刻的了解，加深对知识的理解、记忆和深化，达到好的教学效果。

1 Mathematica基本绘图函数

Mathematica具有很强的绘图能力，用户只需调用绘图函数，即可很方便地画出一元函数和二元函数在所需范围内的平面图像与三维图形，并可以在同一坐标系内以不同的颜色显示，进行比较。Mathematica基本绘图函数有：

2 Mathmatica绘图功能的应用

2.1 在一元微积分教学中的应用

极限是微积分最基本的概念，也是微积分教学中的难点

实例1 在很多的《微积分》教材中，割圆术是引入极限定义的经典例题，利用Mathematica可以很容易绘制出割圆术的图形：

实例2 为了进一步给出数列极限的定义，通常是在实例1的基础上，观察下面三个数列的变化趋势，利用下面的命令，可以画出三个数列的图像。

在教学过程中，让学生观察实例1与实例2的所画出的图像，给学生一个直观的印象，在此基础上，逐步引入极限的ε-N？定义，使学生更容易理解极限的定义。同样，在讲述第二个重要的极限时，也同样利用画图和数值计算，并结合该极限的一个应用实例：存款利率，使得学生对自然对数的基底e有着更为深刻的理解，并对以后研究函数y=ex的性质打下基础。

函数的连续性以及各种间断点，是微积分一个重要的知识点，在教学过程中，通过对于函数图像的观察，特别是震荡间断点，使得学生对于极限与连续的关系，以及各类间断首先有一个直观的印象，然后再进一步的学习，例如，利用下面的命令，

图1

图2

图3

通过观察上述函数的图像，并加以比较，对学生理解极限与连续的关系和各类间断点有很大的帮助。

在导数应用的教学过程中，在求出函数的单调性、凹凸性、极值点、拐点和渐近线等的基础上，通常要画出函数的图像，这时如果利用Mathematica就能很容易画出函数的图像。

图4

图5

在定积分的应用中，积分上下限的确定通常需要实际问题画出图像。

图6

实例4 求阿基米德螺线ρ=θ相应于0≤θ≤2π段的弧长。下面的函数画出了阿基米德螺线的图像(图6)。

2.2 在多元微积分教学中的应用

图7

与一元微积分类似，多元函数的极限是学习多元微积分首先遇到的问题。一元函数y＝f（x）在x→x0时的极限是否存在，只需考虑在x0的左右极限即可。但是对于二元函数 z=f（x，y）在（x，y）→（x0，y0）时的极限是否存在，要考虑（x，y）沿任意方向趋向于（x0，y0），包括沿曲线，这一点使学生感到很困惑，老师的解释通常也难有好的效果。利用Mathematica画出相应函数的图像和等高线，使学生能够直观地观察到函数的几何表述，可以很有效的解决这个问题。

3 结束语

Mathematica的绘图功能是十分强大的，通过不同的设置和参数，结合教学内容，可以绘制出更为理想的图形。在实际教学过程中，我们充分利用了绘制出的这些图形，使抽象的内容变的直观，进一步丰富课堂教学的内容，激发学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性，改善了教学效果，提高了教学质量。

［1］王高峡.用Mathematica软件绘制空间图形的方法和技巧[J].重庆工学院学报:自然科学版,2007,7,21(7).

［2］高等数学[M].6 版.同济大学出版社,2007,6.