递推数列的特征方程法探究

2014-05-08 01:28蔡军军
中小学教学研究 2014年4期
关键词:公比二阶通项

蔡军军

数列问题在高考中有着非常重要的地位,其中数列求通项公式,通常作为各省市的高考压轴题出现。而递推数列的通项公式求解,往往令师生最为头疼。那么,什么是递推数列,包含哪些类型.一般而言,数列求通项公式,都有哪些方法策略?下面,我对这几方面做些研究、探索不足之处,敬请同行批评指正。

一、递推数列的分类

递推数列,顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。用通俗的一句话来解释“递推”就是:知道他的过去,就知道他的现在.知道他的过去和现在,就知道他的将来。

根据递推式不同,一般可将递推数列分为以下4类:

二、递推数列的特征方程法引理

(一)一阶线性递推数列

引理1.已知数列{an}满足a1=b,an+1=pan+q(p≠0且p≠1,p,q是常数),称方程x=px+q为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x0,则①当x0=a1时,数列{an}为常数列;②当x0≠a1时,数列{an-x0}是以p(p≠0)为公比的等比数列.

简证:设特征方程x=px+q,得根为x0=■,

又an+1=pan+q (1)x0=px0+q (2),由(1)-(2)得,an+1-x0=p(an-x0),

若a1=x0=■,则a1=a2=a3=……=an=■,即数列{an}为常数列;

若a1≠x0,则■=■=p(非零常数),即数列{an-x0}是以p为公比的等比数列,证毕。

(二)二阶线性递推数列

引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan(p≠1,p,q是常数),a1=a,a2=b,称方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x1,x2。则①当x1≠x2时,数列{an}的通项为an=c1x1n+c2x2n,其中c1,c2由初始值决定;②当x1=x2时,数列{an}的通项为an=(c1+c2n)x1n,其中c1,c2由初始值决定。

简证:设特征方程x2=px+q有两个根为x1,x2,则

x1+x2=px1·x2=-q,故由an+2=pan+1+qan得,an+2=(x1+x2)an+1-(x1·x2)an,

即an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)。所以,an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)

利用迭代得:

an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)所以an-x1an-1=x2n-2(a2-x1a1)

=x22(an-2-x1an-3) ■=■

=……

=x2n-2(a2-x1a1) 即■-■=■(a2-x1a1)

再次利用迭代得:

■=■+■(a2-x1a1)

=■+■(a2-x1a1)+■(a2-x1a1)

=……

=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)

若x1≠x2,则■=■+(a2-x1a1)■

整理得,an=■x1n+■x2n

设c1=■,c2=■,则an=c1x1n+c2x2n。

若x1=x2,则由■=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)得,

an=[(■+x1a1-a2)+(a2-x1a1)n]x1n

设c1=■+x1a1-a2,c2=a2-x1a1,an=(c1+c2n)x1n,证毕。

(三)一次分式递推数列

引理3.已知数列{an}满足an+1=■(p,q,r,h∈R,且ph≠qr,r≠0,a1≠-■),则称方程x=■为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x1,x2。则①当x1≠x2且x1≠a1时,则数列{■}为等比数列.②当x1=x2时,若a1=x1,则数列{an}为常数列;若a1≠x1,则数列{■}为等差数列。

简证:设特征方程x=■有两个根为x1,x2,

特征方程整理为rx2+(h-p)x-q=0,故x1+x2=■x1x2=-■

当x1≠x2且x1≠a1时,不妨设■=k■(其中k为待定系数)

由■=k■,解得:an+1=■

与an+1=■比较可得:

x1-kx2=p,(k-1)x1x2=q,1-k=r,kx1-x2=h

上面四个等式再结合x1+x2=■x1x2=-■进行验证,得出结论是正确的。

所以■=k■是存在的,并且k=1-r。

所以,当x1≠x2且x1≠a1时,则数列{■}为等比数列得证。

同理易证当x1=x2时,若a1=x1,则数列{an}为常数列;

若a1≠x1,则数列{■}为等差数列.

(四)二元一阶线性递推数列

引理4.已知数列{an},{bn}满足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn,则数列{an},{bn}的通项公式求解,可转化为二阶线性递推数列来进行通项公式的求解。

简证:由于an+2=pan+1+qbn+1

=pan+1+q(ran+hbn)

=pan+1+q(ran+h■)

=(p+h)an+1+(qr-hp)an

同理,bn+2=(p+h)bn+1+(qr-hp)bn

所以,二元一阶线性递推数列可转化为二阶线性递推数列解决。

三、递推数列在高考中的考查

递推数列综合性试题,频繁出现在高考压轴题的位置。譬如下面几道数列高考题,可用特征方程解答:

题目1.(2008年广东文)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记cn=nanbn(b=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn。

解:(1)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目2.(2009年陕西文)已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式。

解:(2)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2=■,

解得特征根x1=1,x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目3.(2008年陕西理)已知数列{an}的首项a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:对任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

(3)证明:a1+a2+…+an>■。

解:(1)问中,一次分式递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x=■,

解得特征根x1=1,x2=0,

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■解得:等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■,从而解出an=■。

题目4.(2009年江西理)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q,都有■=■。

(1)当a=■,b=■时,求通项an;

(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数a,都有■≤an≤λ。

解:(1)由■=■得

■=■将a1=■,a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列,

其特征方程为x=■,

求解出特征根是x1=1,x2=-1,

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■,得等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■=-(■)n,从而解出an=■。

通过上面4个高考题目,可以看出,特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生,也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况,有选择地教会学生使用特征方程法,解决相关数列问题,一定能使学生获益匪浅,决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略,在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理,归纳主要有如下几种类型及应对的策略:

关于如何求解数列求通项公式问题,并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考,否则事倍功半.万变不离其宗,还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列(an+1-an=d)和等比数列(■=q)两种常规数列,那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢?其实,条件满足形如an+1-an=f(n)的数列不就是等差数列的广义形式吗?而■=f(n)亦是等比数列的广义形式。回头反思一下,上面的各种求解数列通项公式的方法,无不是通过各种技巧进行构造变换,再转化为an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言:数学根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平时的教学过程中,我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想,而不是简单的一两种技巧性的东西.这样,学生才能在面对各种数列求通项公式问题时,做到游刃有余,事半功倍。(责任编辑:张华伟)

题目1.(2008年广东文)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记cn=nanbn(b=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn。

解:(1)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目2.(2009年陕西文)已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式。

解:(2)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2=■,

解得特征根x1=1,x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目3.(2008年陕西理)已知数列{an}的首项a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:对任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

(3)证明:a1+a2+…+an>■。

解:(1)问中,一次分式递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x=■,

解得特征根x1=1,x2=0,

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■解得:等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■,从而解出an=■。

题目4.(2009年江西理)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q,都有■=■。

(1)当a=■,b=■时,求通项an;

(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数a,都有■≤an≤λ。

解:(1)由■=■得

■=■将a1=■,a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列,

其特征方程为x=■,

求解出特征根是x1=1,x2=-1,

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■,得等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■=-(■)n,从而解出an=■。

通过上面4个高考题目,可以看出,特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生,也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况,有选择地教会学生使用特征方程法,解决相关数列问题,一定能使学生获益匪浅,决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略,在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理,归纳主要有如下几种类型及应对的策略:

关于如何求解数列求通项公式问题,并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考,否则事倍功半.万变不离其宗,还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列(an+1-an=d)和等比数列(■=q)两种常规数列,那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢?其实,条件满足形如an+1-an=f(n)的数列不就是等差数列的广义形式吗?而■=f(n)亦是等比数列的广义形式。回头反思一下,上面的各种求解数列通项公式的方法,无不是通过各种技巧进行构造变换,再转化为an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言:数学根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平时的教学过程中,我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想,而不是简单的一两种技巧性的东西.这样,学生才能在面对各种数列求通项公式问题时,做到游刃有余,事半功倍。(责任编辑:张华伟)

题目1.(2008年广东文)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记cn=nanbn(b=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn。

解:(1)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目2.(2009年陕西文)已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式。

解:(2)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2=■,

解得特征根x1=1,x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目3.(2008年陕西理)已知数列{an}的首项a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:对任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

(3)证明:a1+a2+…+an>■。

解:(1)问中,一次分式递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x=■,

解得特征根x1=1,x2=0,

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■解得:等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■,从而解出an=■。

题目4.(2009年江西理)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q,都有■=■。

(1)当a=■,b=■时,求通项an;

(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数a,都有■≤an≤λ。

解:(1)由■=■得

■=■将a1=■,a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列,

其特征方程为x=■,

求解出特征根是x1=1,x2=-1,

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■,得等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■=-(■)n,从而解出an=■。

通过上面4个高考题目,可以看出,特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生,也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况,有选择地教会学生使用特征方程法,解决相关数列问题,一定能使学生获益匪浅,决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略,在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理,归纳主要有如下几种类型及应对的策略:

关于如何求解数列求通项公式问题,并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考,否则事倍功半.万变不离其宗,还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列(an+1-an=d)和等比数列(■=q)两种常规数列,那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢?其实,条件满足形如an+1-an=f(n)的数列不就是等差数列的广义形式吗?而■=f(n)亦是等比数列的广义形式。回头反思一下,上面的各种求解数列通项公式的方法,无不是通过各种技巧进行构造变换,再转化为an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言:数学根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平时的教学过程中,我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想,而不是简单的一两种技巧性的东西.这样,学生才能在面对各种数列求通项公式问题时,做到游刃有余,事半功倍。(责任编辑:张华伟)

猜你喜欢
公比二阶通项
数列通项与求和
关于数列通项公式的浅谈
例谈高中数列通项求解的几种常见方法
二阶矩阵、二阶行列式和向量的关系分析
精选精练20题 高考数列得满分
二次函数图像与二阶等差数列
数列测试卷(A卷)
非线性m点边值问题的多重正解
递推数列类型分析
从问题出发