高等代数研究问题的基本方法的教学实施

李志慧

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062）

高等代数研究问题的基本方法的教学实施

李志慧

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062）

培养学生系统地掌握高等代数研究问题的基本方法是高等代数课的教学目的之一．高等代数中有代表性的的5种基本方法包括：严格的逻辑推理方法、公理化方法、结构化方法、矩阵表示方法和等价分类方法．了解这5种方法的具体含义和在高等代数中的具体应用对高等代数教学是十分有益的．

高等代数；基本方法；有效教学

1 引 言

高等代数是代数学的入门课程，它的任务是阐述代数学的一些基础知识，初步了解代数学的研究对象，使学生掌握代数学的基本思想和研究问题的基本方法，即：严格的逻辑推理方法，公理化方法，结构化方法，矩阵表示方法和等价分类方法[1]．那么如何将这些方法在教学中给予有效地实施，文章将围绕这5种方法，结合高等代数的内容，进行详细的探究．

需要说明的是：这里使用的术语以及符号与文献[2]中一致．

2 各基本方法的教学实施

2.1 严格的逻辑推理方法的教学

高等代数的研究对象除了线性空间，线性变换和欧氏空间外，其余各章均是在默认正整数的5条公理的基础上，直接采取“定义—定理（性质）—推论—例题—习题”的形式呈现知识内容的，即严格的逻辑推理方法．具体地说，在多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型以及λ-矩阵各章的教学中，应该做到使学生准确理解定义，然后从定义出发，引导学生利用严密的逻辑推理方法，依次推出性质、引理、定理、推论，直至建立本类问题的整套理论体系．在内容的讲授方面是一种线条式的，要做到环环相扣．

以多项式这一章的教学为例，教师首先要让学生清楚为何要提出多项式的概念？为何要研究因式分解理论等？实质上，从生产实践和自然科学理论中，自然地产生了求解代数方程的问题，也即提出了一元高次代数方程的基本问题是：它有没有根？有多少根？如何求出它的全部根？而一元高次代数方程的求根问题是与对应的多项式的分解问题可以说是相辅相成的．因此，从多项式概念的引入，到最终目的是将多项式给予分解这个中心内容，就可以顺理成章地组织教学主线．首先证明了带余除法定理，它是本章最基本的定理，由此得到了本章的另外两个重要的定理即最大公因式的存在定理和因式分解的唯一性定理．从理论体系上呈现出一种线条式的，做到了环环相扣，即给出了这一章3大理论体系为：

（1）整除理论：包括整除、最大公因式、互素及性质；

（2）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等；

（3）根的理论：多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等．

这样组织本章教学，充分体现了严格的逻辑推理方法．

2.2 公理化方法的实施

线性空间是高等代数中第一个公理化定义．在这之后，高等代数中的线性变换、欧氏空间等概念均是用公理化方法引进的．

高等代数从学生已经学过的数、多项式、矩阵、几何向量、函数等具体的数学对象中，找出它们关于各自加法和数乘共同满足的8条运算规律，将这8条运算律作为公理给出线性空间的定义．从线性空间的定义可以看出，它首先舍弃了数、多项式、矩阵、几何向量、函数等这些数学对象的具体躯壳，而将其用一个非空集合来代替，它们各自满足的两个运算统统定义为这个非空集合上的两个运算，并抽象出共同满足的8条运算规律．这样做的好处在于抛开了数学对象的表面形式，可以集中精力研究线性空间的内部结构以及外部结构．从而使知识结构从感性上升到理性，从具体上升到抽象．进而得到理论上的实质性进展，因此对该理论的认识才能深刻，而该理论的应用领域才能更加宽广．实质上，当对线性空间的结构研究清楚以后，作为起初的多项式、矩阵等对象的结构也就清楚了．这也说明了理论可以返回头来指导实际．

在高等代数中，公理化章节中的知识体系是如何呈现的？在这些章节的教学中，应该采取什么样的有效的教学方法呢？如果说属于严格的逻辑推理的章节在内容方面是一种线条式的，那么公理化方法的这几章的知识体系更像是一座座要开发的宝藏．当用公理化方法给出定义后，依据的只有公理化定义中的几条公理，来挖掘满足这一公理体系下的代数系统的结构．这里仍以线性空间为例，依据加法与数乘的运算和8条公理，得到了：

（1）从元素的角度，研究了基、维数与坐标，得到了基变换与坐标变换公式；

（2）从内部出发，研究了子结构．即子空间，子空间的交与和，直和，得到了维数公式．

（3）从外部出发，研究了线性空间的同构．

由于公理化定义的对象本身比较抽象，从不同的角度研究这些对象时，学生缺乏直观想象，这时在教学方法上教师要做到一些直观形象的比喻．如在讲述线性空间的同构时，文[3]形象地将其比喻成生物学上研究脊椎动物类的身体结构，指出它们的标本与实物本身虽然成分不相同，但就其结构而言，其标本与实体没有区别．要研究脊椎动物的结构，不可能将属于脊椎动物的每只动物都解剖进行研究，而是将该类动物中的其中一只如麻雀解剖做成标本，只要将这一只标本研究清楚了，则整个脊椎类的结构也就清楚了．同样的道理，要研究某一类线性空间，若它们在某个一一对应下关于运算的结构相同，则只要研究其中的一个就行了，这就是学习同构的意义所在．

公理化方法的引进不但使数学抽象思维产生了新的飞跃，也使逻辑推理更加严格．

2.3 结构化方法的展示

首先对结构化方法给予解释．结构的基础是集合，当只涉及集合、元素及元素属于集合的这种简单的关系时是属于集合论研究的范畴；当研究元素与元素之间以及元素与子集合、子集合与子集合之间的各种关系时，就称为结构化方法[4]．在高等代数中，这种结构化方法集中体现在线性空间和欧氏空间两章中．即依据代数系统的公理，研究系统中元素之间关系，系统的生成方法，系统与子系统的关系（如代数系统的直和分解），系统的分类等．实质上，这是研究代数系统的一个最基本的方法，这种研究方法在抽象代数的各对象讨论中尤为明显，如群、环、域和模等．

在高等代数的教学中，应该适时地给学生做一点拨，尤其在讲授完欧氏空间的内容后，可以将这两章内容中的结构化方法，再给予分析和验证，这样使学生有了一种直观的感受．从而能更好地理解这种方法的实质．

2.4 矩阵表示方法的综合体现

矩阵表示方法可以说贯穿了高等代数的每一章内容，只是因为多项式在编排上位于教材的第一章，无法介绍矩阵在这一章的应用．如线性方程组可用它的增广矩阵表示．在线性空间里，取定一个基后，n维向量可由它的坐标组成的行矩阵或列矩阵表示，线性空间的线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数、二次型均可用矩阵表示．在欧氏空间里，取定一个标准正交基后，内积可用其度量矩阵表示，正交变换可用正交矩阵表示，对称变换也可用对称矩阵表示，等等．将研究对象转化成矩阵表示后，在研究有关问题时会带来方便．如线性变换利用矩阵表示后，有关线性变换的抽象问题可以用矩阵迎刃而解，这方面的典型例子可参考文献[5]．

在教学中，教师应该做一个这方面的小专题，利用多媒体在每章结束时将本章出现的矩阵表示方法给予展示，这样教师经过讲解以及回放这个专题后，学生可逐渐领会这种方法．

2.5 等价分类方法的渗透

等价分类方法是数学中一个重要的方法，即为了研究某个集合的某一问题，在此集合中引入相应的等价关系，然后寻找各等价关系类中形式最简单、性质最好的元素（即最简单的代表元），从而使问题的研究得以简化．在高等代数中的很多章节都用到了等价分类方法．具体表现在：

（1）nm×(n≤m)矩阵的全体按照矩阵的等价关系可以分为1+n个类，最简单的代表元为．

（2）非退化线性替换是实n元二次型的一个等价关系，在这个等价关系下，实n二次型可分为(n+1)(n+2)个类，

（3）数域P上的维数小于等于n的有限维线性空间按照线性空间的同构这个等价关系可以分为n+1个类，数域P上的维数等于r的线性空间在这个等价关系下最简单的代表元为数域P上的线性空间rP(1≤r≤n)．

（4）复数域C上的n级对称的全体在矩阵的合同关系下可以分为n+1个类，最简单的代表元为≤n)．实数域R上的n级对称矩阵的全体在矩阵的合同关系下可以分为(n+1)(n+2)个类，最简单的代表元为：

（5）复数域C上的n级方阵的全体在矩阵的相似关系下可以分无穷个类，最简单的代表元为若尔当矩阵．

由于等价分类方法是一种比较抽象的方法，学生在理解起来有一定的困难性．在教学中，教师也应该制作关于这一问题的小专题，每当讲授一种等价分类方法后，利用多媒体重放这些方法，回顾旧知识，总结新结论，不断渗透，以加强理解等价分类方法．

3 小 结

以上就高等代数中研究问题的基本方法的教学实施给予了分析，旨在强调渗透数学思想方法的教学是培养和发展学生数学思维能力的有效途径．在高等代数教学中，如果忽视了知识背后隐藏的数学思想和方法，不重视知识发生发展过程中思想方法的渗透和指导，最终只能让学生的头脑填满一大堆零散的材料，很难形成一个具有活动的数学知识结构．因此说，抓住这些基本方法的实质组织教学，对于培养学生的高等代数思维能力是极为有益的．

[1] 侯维民．关于代数学研究问题的基本方法[J]．数学教育学报，1999，8（1）：94-96．

[2] 王萼芳．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[3] 兰艳，沈艨．高等代数抽象性及其教学的研究[J]．数学学习与研究，2011，23（1）：11-12．

[4] 胡作玄．数学是什么[M]．北京：北京大学出版社，2008．

[5] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[M]．北京：科学出版社，2008．

Teaching Implementation of the Basic Study Methods in the Course of Advanced Algebra

LI Zhi-hui
(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

One of the teaching purposes is to train students to master basic study methods in the course of Advanced Algebra. In this paper, we analyze five basic methods in Advanced Algebra, including strict logical reasoning method, axiom method, structural method, matrix representation method and equivalent classification method. The meaning of these five kinds of methods are explained. For each method we use some examples to clarify their specific application in Advanced Algebra. Then we give some studies on how to effectively implement these five basic methods into each chapter in Advanced Algebra.

advanced algebra; basic method; effective teaching

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0006–03

[责任编校：周学智]

2013–10–10

陕西省高等代数精品课程资助项目——高等代数精品课程（884275）；陕西师范大学高等代数精品资源共享课资助项目——高等代数精品资源共享课（884355）

李志慧（1966—），女，陕西眉县人，教授，博士，主要从事有限域、密码学研究．