处理斜碰问题的三种方法

李忠相

（重庆市第一中学校 重庆 4000 30 ）

碰撞前后两物体的速度在同一条直线上的碰撞称为正碰，不满足这一条件的碰撞称为斜碰．一般情况下，斜碰是三维问题，碰后两物体的速度与碰前速度不一定共面，但若碰前一个物体静止，则这种碰撞是二维问题．碰撞前后总动能不变的碰撞称为弹性碰撞，碰撞前后总动能变化的碰撞称为非弹性碰撞．斜碰过程中，如果两个物体光滑，没有摩擦，碰后两物体只有平动没有转动；如果两物体间有摩擦，碰后物体既有平动又有转动．

为了简单起见，这里讨论两个光滑小球间的弹性斜碰，并且碰前一个小球处于静止状态．

如图1所示，质量为m1的小球以速度u1射向质量为m2的静止小球．碰后两小球的速度分别记为v1和v2，其散射角（与入射速度u1的夹角）分别记为θ1和θ2．

图1

碰撞过程动量守恒，有

m1u1＝m1v1cosθ1＋m2v2cosθ2

0＝m1v1sinθ1－m2v2sinθ2

如果是弹性碰撞，有

其中被撞小球的散射角θ2由瞄准距离b以及两小球的尺寸决定．若将θ2视为已知量，理论上利用这些方程即可讨论这种斜碰的全部规律，但实际运算却十分繁琐．下面介绍3种较为简洁的处理方法．

1 将运动分解到连心线和垂直于连心线方向处理

如图2，把碰撞前后的速度都分解到连心线方向（y轴）和垂直于连心线方向（x轴）．在连心线方向，相当于一次正碰；在垂直于连心线方向，由于没有作用力，二者的分速度均不发生变化．值得注意的是，被撞小球的散射方向即是连心线方向．

图2

在x方向，易得

v1x＝u1sinθ2

在y方向，系统动量守恒，有

m1u1cosθ2＝m1v1y＋m2v2

弹性碰撞的恢复系数e＝1，有

u1cosθ2＝v2－v1y

解得

于是

容易发现，若m1＝m2，则v1y＝0，碰后两球速度夹角（θ1＋θ2）为直角；若m1＞m2，则v1y＞0，碰后两球速度夹角为锐角；若m1＜m2，则v1y＜0，碰后两球速度夹角为钝角．

2 在质心参考系（C系）中处理

两小球组成的系统质心速度为

在质心参考系（C系）中，碰前两小球的速度大小分别为

图3

若碰后速度分别记为v1C和v2C，碰撞过程动量守恒和弹性碰撞恢复系数e＝1，有

m1u10－m2u20＝m1v1C－m2v2C

u10＋u20＝v1C＋v2C

解得v1C＝u10v2C＝u20

这表明，在质心参考系中，弹性碰撞只改变速度的方向而不改变其大小．

实验室参考系（L系）中，两小球碰后速度与质心参考系（C系）中的速度关系如图4所示．由于v2C＝u20＝vC，v2与v2C的夹角也为θ2，于是

图4

考虑到v1C＋v2C＝u1，由余弦定理，有

由正弦定理，有

代入即可求得v1和θ1．

如图5所示，以vC的末端为圆心，以vC的大小为半径作辅助圆．若m1＝m2，则v1C＝v2C＝vC，碰后两球速度的夹角（θ1＋θ2）为直角；若m1＞m2，则v1C＜v2C＝vC，碰后两球速度夹角为锐角；若m1＜m2，则v1C＞v2C＝vC，碰后两球速度夹角为钝角．

图5

3 借助动量三角形处理

碰前m1的动量记为p10，碰后两小球的动量分别记为p1和p2，则

p10＝p1＋p2

可用图6所示的动量三角形表示．

图6

弹性碰撞前后总动能不变，有

由余弦定理，有

容易解得

由正弦定理，有

代入即可求得p1和θ1．

同样地，若m1＝m2，则，由勾股定理易知，碰后两球速度夹角（θ1＋θ2）为直角；若m1＞m2，则，碰后两球速度夹角为锐角；若m1＜m2，则，碰后两球速度夹角为钝角．

当然，若已知量不是θ2，或碰撞过程还有其他形式的能量参与，这3种方法也会在计算繁简上出现较大的差异．一般来说，在质心参考系中，由于总动量等于零，碰撞过程最为简洁，所以，转换到质心系应是处理这类问题的首选策略．

1 郑永令．碰撞与质心系．物理教学，2010 （10 ）：9