碰撞出来的圆周率
——两球与墙壁三者间的碰撞次数与圆周率π间关系的讨论

陈 怡

(浙江金华第一中学，浙江 金华 321015)

1 问题的提出

图1

如图1所示，左侧为光滑墙壁，下方为可向右侧无限延伸的光滑地面。A、B两球大小相等，置于地面上，现给A向左的初速度。假设球与球，球与墙壁之间的碰撞为均无动能损失。如果A、B两球质量相等，A碰上B，A停下来B继续运动，B碰到墙后再返回与A相碰，球与球、球与墙之间一共发生了3次碰撞。如果球A的质量大于B，那么A碰完B之后,A还会继续向墙运动，总共的碰撞次数可能会大于3次。实际上：当A的质量是B的一万倍时，共碰撞314次。当A的质量是B的一百万倍时，共碰撞3141次。当A的质量是B的一亿倍时，共碰撞31415次。很明显地发现，总的碰撞次数会与圆周率的数值有关，那么为何两球与墙壁三者间的总碰撞次数会与圆周率联系在一起？

本文立足于两个小球在碰撞过程中速度变换关系而完全舍弃位置参量来解决A，B两球与墙壁三者间的总碰撞次数和圆周率的关系问题，采用碰撞过程中的速度变换关系的证明方法可以直接构造出平面直角坐标系下的圆方程，进而利用碰撞前后在单位圆圆周上的变换关系直接得到最后的结论，整个讨论过程物理意义明确，几何关系简单。

2 分析与论证

为简单起见作如下假设：如图2所示，A球质量为mA=Nm，B球质量为mB=m，规定向左为正方向，初始时A球具有向左的初速度v0。

图2

2.1 A,B两球和墙壁三者之间任一次碰撞中的能量动量关系

设某时刻，A,B两球发生第n次碰撞，那么从一开始到第n次两球碰撞的时间间隔内，B球与墙壁共发生了n-1次碰撞。……