基于盒维数的保持架质心轨迹稳定性分析

谭晶，储著金，顾志鑫，梁建波

(上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072)

保持架的动态特性是球轴承动力学性能中一个极为重要的方面。保持架涡动等不稳定的保持架运动会导致轴承啸叫并使摩擦力矩产生较大波动。因此，研究保持架的动态特性对于改进轴承设计、提高轴承寿命具有十分重要的意义。

表面波纹度一直是评价球轴承几何特性的重要参数，虽然国内外对保持架的动力学特性都有较为深入的研究，但有关表面波纹度对保持架动态特性影响的相关报道却很少。文献[1]利用ADAMS对滚针轴承保持架进行了动力学仿真，利用模态综合法分析了保持架的动态应力分布，但并未提及保持架的运动特性。文献[2]利用离散单元法分析了柔性保持架的动态特性，重点对比了与刚性保持架动态特性的差异。文献[3-4]对保持架的拟动力学特性进行了理论分析。文献[5-8] 利用ADAMS讨论了保持架的动态特性，得到了许多有益的结论。文献[9]讨论了表面波纹度对保持架质心轨迹稳定性的影响，但缺乏对保持架质心轨迹优劣的定量描述。下文提出用盒维数定量评价保持架质心轨迹的混乱程度，并通过建立多体动力学模型分析表面波纹度对保持架质心轨迹的影响规律。

1 基本理论

1.1 表面波纹度理论模型

由于制造误差，轴承内、外圈沟道表面和钢球表面等都不是几何真圆，不同程度地存在圆度误差，这些误差又是随机的，在圆周方向上呈波谱状展开。

轴承沟道表面波纹度的几何曲线r用极坐标可表示为

r=r0+yi，

(1)

yi=Δrsin(360nt+β)，

(2)

式中：r0为内、外圈沟道半径；Δr为轴承沟道表面波纹度最大谐波幅值；β为初始相位角；n为轴承沟道表面波纹度的谐波阶次，n=2πr0/λ，λ为波长；t为介于0与1之间的常数。

轴承制造误差，如表面波纹度在旋转过程中会引起周期性的接触变形，运用所建立的振动模型可以分析表面波纹度激励产生的轴承振动。表面波纹度存在于内、外沟道或钢球上，其模型如图1和图2所示。

图1 内、外圈表面波纹度模型

图2 钢球表面波纹度模型

1.2 盒维数

目前，保持架动态特性的优劣主要通过人为观察来判定，缺少评价的客观性。而且当保持架质心轨迹较为复杂时，通常变得难以评定。故根据盒维数的计算原理，通过MATLAB编程，分析二维数字图像，以客观评价保持架质心轨迹的复杂程度，为定量观察保持架的动态特性提供借鉴。此方法的优点是既有图像处理又有数值分析。

2 仿真结果与分析

2.1 仿真工况与边界条件

以7003C角接触球轴承为研究对象，在ADAMS中建立参数化模型。首先进行内圈的参数化建模，创建如图3所示的变量(design variable)。图中B为内圈宽度；l为内圈一侧到内圈沟道中心的距离；ri为内沟曲率半径；F为内沟道直径；d为轴承内径；d1为内圈外径。最后建立的内圈参数化模型如图4所示。

图3 内圈参数

图4 内圈模型

根据所用实体保持架的尺寸，建立保持架的设计变量如图5所示。需要注意的是，保持架具有均匀分配的圆孔，圆柱体在旋转时的计算公式为90.0+360n/Z，其中，n=1,2,…,Z(Z为钢球数)，保持架材料为酚醛夹布。建立的外圈设计变量如图6所示。在建立外圈挡边倾斜角β部分时，要注意的是圆锥体大端半径为E/2，小端半径为E/2-(C-h)tanβ。

图5 保持架参数

图6 外圈参数

建立钢球的参数化模型时，也要与保持架兜孔相对应，注意球的位置，并使用旋转公式。建立的轴承参数化模型如图7所示。建模后可按照设定的设计目标，修改某些参数即可对不同轴承模型进行仿真计算，可大大提高运算效率，减少重复劳动。

图7 轴承参数化模型

轴承外圈固定，内圈以n=1 800 r/min定速转动，同时内圈承受径向载荷Fr=50 N，轴向载荷Fa=200 N。设仿真时间为1 s，仿真步数为1 000，观察保持架在垂直于轴线方向平面内质心的运动轨迹。

2.2 外沟道表面波纹度谐波阶次和球数的影响

设定表面波纹度谐波幅值Δr=2 μm，当表面波纹度位于外沟道,其他零件为理想真圆时，针对球数为13，12，11的3种结构，分别对表面波纹度谐波阶次n=4，5，…，15时的不同情况按照给定工况仿真后得到保持架的质心轨迹。根据盒维数原理，进行MATLAB编程，然后将ADAMS分析得到的保持架质心轨迹数据导入程序，应用MATLAB程序计算质心轨迹的盒维数，得到外沟道不同表面波纹度谐波阶次下保持架质心轨迹的盒维数。

不同球数时，保持架质心轨迹盒维数随外沟道表面波纹度谐波阶次的变化规律如图8所示。由图可知：(1)随着表面波纹度谐波阶次的增加，保持架质心轨迹的复杂性趋于平稳；(2)表面波纹度的谐波阶次为7时，保持架质心轨迹的复杂性有明显波动；(3)当外沟道表面波纹度的谐波阶次相同时，随着球数的减少，质心轨迹的混乱程度呈增加趋势。

图8 保持架质心轨迹盒维数随表面波纹度谐波阶次及球数的变化规律

2.3 不同零件表面波纹度的影响

为研究不同零件表面波纹度对保持架质心轨迹的影响，分别计算外沟道、内沟道及钢球的表面波纹度谐波阶次为4时保持架质心轨迹的盒维数，结果如图9～图11所示。仿真过程中，给定的钢球数为12，表面波纹度的谐波幅值Δr=2 μm。

图9 表面波纹度位于外沟道(盒维数值1.490)

图10 表面波纹度位于内沟道(盒维数值1.494)

图11 表面波纹度位于钢球表面(盒维数值1.499 6)

由图中的盒维数值可以看出，当表面波纹度位于钢球表面时，保持架质心轨迹最为混乱，故可以认为，钢球表面波纹度对保持架质心轨迹的影响程度最大；内沟道表面波纹度次之，而外沟道表面波纹度影响最小。此结果可以为制定轴承零件加工工艺提供一定的借鉴，相对于内、外圈来说，提高钢球表面的形状误差可以更好地改善保持架质心轨迹。

3 结束语

仿真和计算结果表明，表面波纹度的谐波阶次、球数及表面波纹度所处的位置均对保持架质心轨迹有较为显著的影响。

生产中外圈表面波纹度是不可避免的形状误差，但应尽量提高其谐波阶次。增加球数可以平稳保持架的质心轨迹，相对于外沟道而言，改善钢球和内沟道的形状误差能够更加有效地控制保持架质心轨迹的复杂性。