饮马问题的拓展与应用

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(杭州市公益中学 浙江杭州 310014)

1 走进数学故事

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头2句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营．请问怎样走才能使总路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传开来[1]．

对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题伴随着学生从小学到大学的数学学习过程.在恰当的时机引领学生对对称性问题进行合理地探索，显得迫切而必要．

图1 图2

2 探索数学本真

如图2所示，从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A′，联结A′B，与河岸线相交于点C，则点C就是饮马的地方.将军只要从点A出发，沿直线走到点C，饮马之后，再由点C沿直线走到点B，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，但是

AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=

A′C+CB=AC+CB.

可见，在点C外任何一点C′饮马，所走的路程都要远一些．由作法可知，河流l相当于线段AA′的中垂线，因此AC=A′C.将军走的路程是AC+BC，就等于A′C+BC，而由两点之间线段最短知，当点C为直线……