实施问题解决策略 让学生真正会学习

●

(沂南教育局 山东沂南 276399)

“未来的文盲不是不能阅读的人，而是没有学会学习的人”.未来的竞争不仅仅是知识量的竞争，更是学习能力的竞争.怎样才能让学生掌握“会学习”的本领从而具有较强的学习能力呢？实施问题解决策略是有效途径之一.

1 对问题解决的再认识

“问题解决”是1990年4月美国数学教师联合会(NCTM)在“关于行动的议程”报告中提出来的，该报告对问题解决的意义作了3点说明：第一，问题解决包括将数学应用于现实世界，为现时和将来出现的科学理论与实际服务，拓广数学科学本身前沿的问题；第二，问题解决从本质上说是一种创造性的活动；第三，问题解决能力的发展，其基础是虚心、好奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向;等等.

许多数学教育学家对问题解决的含义进行了探讨，比较一致的认识主要有：

(1)问题解决是心理活动.问题解决指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动.

(2)问题解决是一个过程.问题解决是把前面学到的知识运用到新的情境中的过程.

(3)问题解决是一种教学形式.应将“问题解决”的活动形式看作教和学的形式，不应将其看成课程所附加的东西.

(4)问题解决是目的.学习数学的主要目的在于问题解决.

(5)问题解决是一种数学能力.在1982年考克罗夫特(Cockeroft)报告中提出：“那种把数学用之各种情况的能力，叫做问题解决.”

我国的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标2011年版》)提出3条课程“总目标”后，又从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这4个方面作出了具体的阐述，其中针对“问题解决”，是这样强调的：

(1)初步学会从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；

(2)获得分析和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；

(3)学会与他人合作交流；

(4)初步形成评价与反思的意识.

综上所述，问题解决是数学课程的目标，是一种能力，是一个发现、探索的过程.学生借此过程可以真正认识、感悟和理解数学，是培养学生学会自主学习的一个重要手段.

2 作为“问题解决”的数学题的特征

培养学生的各种数学能力都离不开解题，数学能力是伴随解题过程逐步形成和发展起来的.实施问题解决教学的“问题”不同于一般的数学题.罗增儒教授认为，这样的数学题具有如下特征：

(1)接受性：学生有解决它的知识和能力基础，题目有激发解题心向的因素(比如趣味性和魅力)；

(2)障碍性：“对人具有智力挑战特征”，学生不能直接看出它的解法和答案，需要经过数学思考，综合地运用各种数学知识和方法才能解决；

(3)探究性：“没有现成的直接方法、程序或算法”，学生不能简单地模仿现成的公式或沿用常规的解题套路，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动才能解决；

(4)情境性：往往不是简单的“已知—求解”模式，而常常是给出一种实际情境，通过数学化的手段，建立相关的数学模型来解决，其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释；

(5)开放性：条件可以多余，答案不必唯一(也可以没有终极的答案)，解决方法多样，各种水平的学生都有机会由浅入深地作出一定程度的回答，当然不一定都能给出最终的解答.

具体针对某一个数学题来说，它不一定同时具备这些特征，但只要能具备其中的2个以上，就是一个很好的问题.

这是2014年山东省青岛市数学中考试题.本题文字叙述较长，为叙述方便，我们用下面几个部分给出：

2.1 原题呈现

探究问题为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续2等分，……；

……

图1

根据第n次分割图可得等式：

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续3等分，……；

……

图2

根据第n次分割图可得等式

2边同除以2，得

(仿照上述方法，在图3中画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程.)

图3 图4

(在图4中画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空.)

2.2 特点分析

(2)障碍性：针对要求的问题，部分学生无从下手.一时难以直接看出它的解法和答案，需要仔细阅读前2个探究活动的解答过程，利用类似的方法经过一定的数学思考，借助图形的直观性才能得以解决.

(4)情境性：最后就是通过一系列的探究活动，在图4中画出第n次分割图，并且根据第n次分割图，得到等式

从而得到模型通解

(5)开放性：可能有部分学生不能给出全部的解答，但就探究3来说，各种水平的学生都能仿照探究1和探究2作出回答.

基于以上分析，本题对于考查学生问题解决能力具有重要的教学价值.

2.3 分析与解答

本题分为“数学问题—探究问题—解决问题—拓广应用”这4个部分，题目叙述篇幅较长，需要学生有很强的阅读理解能力.

并且在它2边同除以2，得

这2个探究活动是第二部分的关键，相当于教科书中的“例题”，目的是让学生掌握探究一类计算问题的通用方法，学会根据面积的大小分割图形，发现规律，积累探究经验.

2边同除以3，得

从而

这是一个关于这类问题的模型通解.

然后在上面的模型通解中令m=5即可.

2.4 试题点评

本题主要考查学生的阅读理解能力、观察分析能力以及书面表达能力，对于培养学生的数学综合能力非常有益.从思想方法角度看，主要用到了数形结合的思想，这是一种重要的数学方法，它在处理一些问题时，具有“柳暗花明又一村”的功效.这样的考题体现了《课标2011年版》的课程理念，应成为教师培养学生观察能力、发现能力、探究等综合数学能力的首选例题.

3 培养学生问题解决能力的主要方法

3.1 激发学生的学习兴趣

爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”如果一个学生连学习数学的兴趣都没有，那么培养他的问题解决能力是不可能的.《课标2011年版》非常注重培养学生的学习兴趣，指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.”学生原本对客观世界就有浓厚的好奇心，数学教学应该努力把学生的这种好奇心引导到探索事物的数量关系和空间位置关系上来，有了这种探索精神，就很容易自觉地去创新一些方法，从而实现问题解决的目的.

3.2 强化“四基”教学

“四基”是指《课标2011年版》界定的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.强调“四基”有两重含义：首先，中学教育是基础教育，许多知识将在学生进一步学习中得到应用，有为学生进一步深造打基础的任务，因而不能要求所学的知识立即在实际中都能得到应用.其次，要解决任何一个问题，必须具有相关的基础知识和基本技能，并且会利用一些基本的数学思想，能借鉴基本的数学活动经验.事实上，学生问题解决能力和学习能力是伴随着他对“四基”的掌握程度而逐渐提高的.因此，必须强化“四基”的教学，为此，教师应当把数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解(证)数学问题时思路的分析过程等充分地“暴露”给学生.

例2无理数的建立过程.

无理数对初学的学生来说是一个难点内容.在引入这个概念前，教师应设法让学生感受到无理数是确实存在的数.我们以计算边长为突破口用下面的问题引导学生去思考：

(1)作一个腰长是1的等腰直角△ABC，利用勾股定理，你能计算出斜边AB的长吗？

这样引入无理数概念，学生自然经历了如下的过程：面对问题→感受新数(体现出扩充数系的必要性)→探究新数特点(体现出扩充数系的合理性)→作出定义→数学能力得到进一步发展.学生经历了上述探索过程，不仅能理解、掌握无理数的意义，而且还能借助学习无理数所获得的数学活动经验，科学地探究其他相关的数学问题，这一点对于培养学生的问题解决能力是非常必要的.我们的教学如果能尽量把教学内容以“问题”的形式展示给学生，引导他们对所给的问题进行观察、分析、猜测、实验、验证，那么学生的问题解决能力必将得到“空前”的发展.

3.3 创造情境引导学生去探索、猜想、发现

学生学习的过程本身就是一个问题解决的过程.对于一些规律性的内容，在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地设计问题，引导学生围绕问题进行观察、分析、综合、推理、判断等思维活动，在活动的过程中发现、归纳得到有关的规律、法则等.

案例3判定一次函数关系的过程.

我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度(℃)和华氏温度(℉).它们之间的关系如表1所示：

表1 摄氏温度和华氏温度之间的关系

(1)观察表1，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？

图5

(2)你能利用第(1)小题中的图像，写出y与x的函数表达式吗？

(3)你能通过分析表1中2个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？

(4)你能求出华氏温度为0度(即0℉)时，摄氏温度是多少度吗？

(5)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流.

设计意图探究和确定某个函数关系是一次函数是比较难的问题，也是很有价值的问题.我们以华氏温度与摄氏温度为素材，直接给出了它们之间的对应关系表，并提出了一系列的问题.首先引导学生用待定系数法根据函数图像上的点确定一次函数表达式.并且能根据已有经验以表中每一对(x，y)(用x表示摄氏温度，y表示华氏温度)的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，画出图5所示的图像，根据直线上2个点的坐标确定出一次函数表达式.然后引导学生从计算2个变量对应数值之差的比入手，判定一个函数是一次函数(具体过程略).

由于问题解决中所指的问题比较新颖，似乎无规律可循，使得学生没有现成的对策，因而需要进行创造性地思考、探究、猜测等活动.只要学生具有扎实的基础知识和基本技能，掌握一些探究数学问题的经验和方法，就不难解决.长期坚持这样的训练，学生的问题解决能力将不断得到提高，并且逐渐形成和提高自己学习的能力.

参 考 文 献

[1] 李树臣.浅论国际中学数学教育发展的主方向[J].中学数学，2001(9)：3-5.

[2] 李树臣.形成和发展数学能力的两个根本途径[J].中学数学教学参考，2002(9)：11-13.

[3] 李树臣.数学课堂教学改革的特点[J].中学数学杂志，2011(4)：1-5.

[4] 李树臣.展现过程是加强“四基”数学的根本途径[J].中国数学教育，2012(12)：7-11.

[5] 李树臣.数学课堂教学应关注的四个核心问题[J].中学数学杂志，2013(2)：8-11.

[6] 罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁:广西教育出版社，2008：31-32.

[7] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社，2012：2-3；8-9.