一道数学高考试题的多元透析

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(嘉兴高级中学 浙江嘉兴 314031)

1 问题的提出

2014年浙江省数学高考文科试题第16题，条件简洁,问题清楚，但学生普遍感觉比较“难”，或无从下手，或因思路不清、计算困难等半途而废.本文试图从不同的视角出发，列举学生采用的几种常规解法进行障碍诊断、评析与题源探究，同时，给出高观点下的再审视，提出几点教学反思与改进.

例1若实数a,b,c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为______.

(2014年浙江省数学高考文科试题第16题)

2 常规解法

2.1 函数的视角

解法1由条件a+b+c=0，得

c=-(a+b)，

代入a2+b2+c2=1，整理得

(1)

由求根公式解得

2.2 方程的视角

解法2由解法1的分析，得

即

从方程的视角，此式可看作是关于b的一元二次方程，因方程有解，故Δ≥0，即

2.3 不等式的视角

结合不等式(b+c)2≤2(b2+c2)，得

a2≤2(1-a2)，

3 诊断、评析与探究

3.1 障碍诊断

因感觉离目标很遥远而止步，殊不知，在此基础上，运用基本不等式，消去b和c，便有如下的解法：

将b+c=-a代入得

至于解法3，很多学生也会想到用基本不等式去解，但他们的经验往往是会解决只含有“二元”、直接用基本不等式即可解决的问题，如例2和例3.

例2若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值为______.

(2011年浙江省数学高考文科试题第16题)

例3若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值为______.

(2010年浙江省数学高考文科试题第15题)

从本质上看，例2、例3和例1是相同的，均是已知2个或3个变量间的关系，求其中1个变量(或2个变量的组合)的最值.

可见，学生感到此题“难”，是因为所给的条件a+b+c=0，a2+b2+c2=1中所含的变元有3个，而平时常见的变元只有2个.究其原因，还是没有领会好“消元”这一最基本的思想方法.

3.2 评析

以上3种解法，都基于一种最自然、最朴素的思想方法，即消元，以达到减少变元、化繁为简、化多为少的目的.视角1通过消元，化“三元”为“二元”,化“二元”为“一元”，最终将问题化归为一元函数的最值问题，虽道路曲折，但目标明确.视角2通过消元，抓住方程的定义(即含有未知数的等式)，将问题化归为一元方程的有解问题.视角3借助不等式，通过整体消元，将问题化归为一元不等式的求解问题，简洁明了.可见，函数、方程、不等式等是解决此题的基础知识，但要成功解决，还需理清题意，抓住本质，运用消元的思想方法.

3.3 题源探究

探究发现，消元的思想方法在浙江省历年高考卷或模拟卷中屡见不鲜，在各大名校的自主招生考试中也时常出现，比如：

例4若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为

( )

(2012年浙江省数学高考文科试题第9题)

解法1(“1”的代换)

由x+3y=5xy，得

故

展开并结合基本不等式，得

教学时，教师常常局限于这种“高技巧”的展示，却忽视了最基本的思想方法.其实，例4和例1有相似的地方，仍可用上面2个“朴素”的方法解决.

解法2(函数的视角)

从函数的视角，z=3x+4y为二元函数，通过消元，转化为一元函数.由x+3y=5xy，得

从而

解法3(方程的视角)

从方程的视角，x+3y=5xy为二元方程，通过消元，转化为一元方程.令3x+4y=t,得

代入方程，化简整理得

15x2-(5+5t)x+3t=0.

此方程可看作是关于x的一元二次方程，方程有解，故Δ≥0，即

(5+5t)2-180t≥0，

(3x+4y)min=5.

4 高观点下的再审视

对于例1,还在如下的解法:

4.1 参数方程的视角

解法5由解法2的分析，知

解法6由a2+b2+c2=1，得

b2+c2=1-a2.

a=-(b+c)，

4.2 非线性规划的视角

解法7由解法1的分析，知

令a=-x-y，b=x-y,代入得

2x2+6y2=1.

8x2+12ax+6a2-1=0，

令Δ=0，得 (12a)2-32(6a2-1)=0，

4.3 柯西不等式的视角

解法8由解法7的分析，知

2x2+6y2=1，

由二维柯西不等式，得

即

4.4 平面解析几何的视角

解法9由解法3的分析，知

即

4.5 空间解析几何的视角

代入化简得

2z2+2tz+2t2-1=0，

令Δ=0，得

4t2-8(2t2-1)=0，

5 教学反思与改进

一道所谓的难题，经过不同视角下的透析与再审视，其实问题简洁，解法自然，让人回味，发人深省.同时也激励我们反思自己的数学课堂教学，改进教师的教学行为和学生的学习习惯.

5.1 重结果、更重过程

新课程理念强调“学生的积极参与，重视学生的体验，关注知识的发生、发展过程”.如学生在学习“基本不等式”时，不仅要知道它的结论，更要理解它的推导过程，关注它所蕴含的几何意义、产生的背景以及简单应用.又如在解题教学中，教师不仅要关注学生解题结果的正确与否，还要关注他们的思维过程.特别是在那些学生易错、易漏、不严谨、欠规范或对知识的理解出现偏差或错误的要害处，更要让学生去体验，引导他们去交流、讨论，在思维的碰撞中，让错误充分暴露，甚至有时可以将错就错、以错纠错，自然地达到“示错、知错、改错”的目的.必要时，教师可以加以点拨或评价，帮助学生认识各种思路的优劣，解法的长短，和学生一起探求最优解.这样，学生在“动脑、动手、动口”的积极参与中得到体验、感悟.

5.2 重知识、更重能力

新课程理念强调“注重提高学生的数学思维能力”.对学生而言，有用的不仅是数学知识，更重要的是数学思维能力.因此在教学中不仅要重视知识的形成过程，还要在数学知识发生时，重视挖掘它所蕴含的思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力.重知识，主要表现在重知识间的逻辑联系，如基本不等式与柯西不等式间的联系，不等式与函数、方程的联系等.这样，通过内部的联系，把握知识的本质，并从中培养学生类比、抽象、概括等思维能力.

5.3 轻技巧、重通性通法

高考是对学生学习过程和水平的检验，现行的高考试卷计算量较大，要求在规定时间内完成，对有些学生来说是有一定困难的，掌握一定的解题技巧也是有必要的.但是，技巧往往有一定的局限性，有时难以想到，没有普适性.因此，在平时的解题教学中，我们更应引导学生去分析思维的起点与突破口.注重知识间的逻辑联系，讲“套路”，更讲“套路”背后所蕴含的最基本的数学思想方法(如本题中所涉及到的消元的方法、函数与方程的思想、化归的思想、数形结合的思想等)，让通性通法成为学生解题的“家常菜”.

5.4 尊重差异、关注个性

新课程理念倡导“建立新型的师生关系，教师要尊重学生间的差异，关注学生个性的发展”.如果说例1中的前4种是“大众化”的常规解法，可以让所有学生都“吃得饱”，那么，后6种“高观点”下的解法，则可以让优秀学生“吃得好”.这些“高观点”下的视角和解法，有些是必修内容的拓展，有些是选修内容，还有些涉及到高等数学的有关内容，对大多数学生可不作要求，但对于那些感兴趣的学生可以适当“加餐”，或根据他们自己的爱好和需求，鼓励他们来点“自助餐”.

浙江省新一轮课改加强了选修课程的地位，也正是基于“提供多样课程，适应个性选择”这一理念，我们何不借课改的春风，让必修课程校本化多一点，让选修课程特色化多一点，让必修、选修课程一体化多一点呢？例如，针对那些喜爱数学或者今后想在理工科有关专业发展的学生，是不是可以尝试开设“高观点下的高中数学”、“奇思妙想的数学世界”等选修课呢？这样，学生的兴趣才能得以提高，个性才能得以彰显，思维能力才能得以发展，我们的教学才能为学生的“终身学习、终身发展”奠定坚实的基础.

6 结束语

罗增儒教授曾说：“数学解题无禁区，数学教学有讲究”.我们在数学教学中，有意积累知识环、方法链，让知识环环相扣、方法链链相连，学生才可以做到举一反三、触类旁通，唯有如此，我们的教学才能减负.重知识的建构，更重思维的提升和能力的培养，引领学生积极参与，把握知识的本质，体味其蕴含的思想方法，唯有如此，我们的教学才能“增效”.关注学生学习数学的水平，更关注他们在活动中所表现出来的情感、态度和价值观的变化，唯有如此，新课程理念才能落到实处.笔者认为，这正是新形势下数学教师应努力追求的.

参 考 文 献

[1] 王剑明.方程思想与判别式法[J].中学教研(数学),2013(3):9-12.

[2] 李金兴.2013年数学模拟卷(二)[J].中学教研(数学),2013(2):46-47.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课课程标准(实验)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社,2001.