数学概念教学的几个策略

李红梅，张晓梅

摘要：数学概念是数学教学的重要内容.分析了数学概念形成.针对学习中存在许多困难，提出如下几个策略：重视学生的前概念；促进感性表征；克服思维定式的消极作用；明确概念的逻辑关系；建构概念网络。

关键词：数学概念；前概念；感性表征；概念网络

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0072-03

数学概念是反映现实世界中和思维想象中一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式.有些数学概念是一类事物的数量关系和空间形式方面关键属性的抽象，具有直观意义，但又是用形式化的语言表述的；有些数学概念是对抽象的再抽象，有些数学概念是思维的自由想象和创造的产物，如四元数、虚数、n维空间等等.

一、概念学习中的问题

数学概念是数学教学的重要内容.数学概念学习中存在诸多困难：（1）会背概念，但不懂含义.如学生写出的方程例子“x=3+■”.（2）片面理解.如认为只有上下垂直关系.（3）概念的应用方面.如换地公式的使用.（4）概念间的逻辑关系的清楚.如Roll中值定理、laglanrzh中值定理、Chency中值定理、泰勒中值定理之间的关系.（5）概念所体现的思想性、方法性不明白.如，定积分概念所体现的逼近思想、以直代曲的方法、极限的方法等.

二、数学概念的形成

瑞士著名心理学家皮亚杰（J.Piaget）在其《发生认识论原理》中指出：“每个心理结构都是心理发展的结果，而心理发展就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或较复杂的）结构.”[1]已有的数学概念既是前阶段认识的产物，又是此后数学认识的基础，表现了数学认识发展的阶梯特性，展现了数学概念的层次性和无限发展的可能性.格劳斯认为，克服错误概念对新概念学习的排斥的唯一可能的解决办法是迫使学生去明确地面对他们的错误与所学的科学原理之间的矛盾.[2]在感性认识的基础上，对感性材料进行思维加工，进而形成数学概念，这需要运用抽象思维、形象思维、直觉思维等.抽象概括是最基本的两种思维活动.

1.对现实模型抽象概括而来的数学概念的教学，发展学生的直觉思维能力、抽象思维能力.数学中的很多原始概念都是有人们对客观事物进行抽象概括而成的，如点、线、面、体等数学概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括而来；自然数概念是从手指的个数，或“一粒米、一棵树”等单个事物集合元素的个数，或从事物排列的顺序抽象得来的.

2.对一些相对具体的概念进行多级抽象概括而成的数学概念的教学，发展学生的抽象思维能力，达到更高一级的抽象水平.如复数概念是在实数概念的基础上产生的，实数概念是在有理数概念的基础上产生的，有理数概念有时在自然数概念基础上产生的.群、环域等概念也是对已有概念进行多次抽象而来.

3.思维对感性材料理想化、纯粹化而来的数学概念的教学，发展学生的直觉思维能力、发散思维能力、整体思维能力、抽象思维能力.如直线概念的“直”和“无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的.

4.对从已知数学对象结构中产生的数学概念的教学，发展学生的观察能力、创新思维能力、辩证思维能力.如中位线、高、角平分线、内错角、同位角、同旁内角、对顶角、内切圆、外接圆等等.

5.对数学自身发展的需要而产生的数学概念的教学，发展学生的创造思维能力、辩证思维能力、发散思维能力.如为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0；正整数指数幂的运算法则推广到有理数指数幂、实数指数幂，在数学中产生了负指数、零指数、分数指数、无理指数等概念.

6.学习由于在数学理论中有存在的可能性而提出来的数学概念，解放学生的思想，发展学生的创新思维能力.如自然数集、无限远点等.

7.对随着数学的发展而发展成为新概念的数学概念的教学，发展学生整体思维能力和辩证思维能力.如角的静态概念：具有公共端点的两条射线所成的图形，随着数学发展而发展的角的动态概念：射线绕它的端点旋转而成的图形.再如几何量角的三角函数发展成为实数的三角函数.

三、教学策略

1.重视学生的前概念.前概念是存在于人们头脑中相对于新知识的已有的认知，可能是正确的，也可能是片面的、错误的.数学前概念一方面来源于日常生活中的经验，另一方面来源于已有的正确的、片面的或错误的概念.“源于儿童生活经验的日常概念则是科学概念发展的重要前提”.[3]如自然数就是由“一粒米，一头牛，两只羊……”抽象而来.日常概念宽泛性、多义性、模糊性与数学概念的准确性、清晰性、简洁性形成鲜明对比.由于日常概念的缄默性质，学生在潜意识里不自觉地偏向于日常概念的使用，而舍弃、排斥、抵制数学概念的使用，这也是学生学习数学概念时产生误解、错解的原因之一.

经验对学习新概念的影响主要表现在对概念系统的扩张上，从过去的经验中找到与新概念相关的概念，在分析、比较、类化它们的异同的基础上建立起新概念.正如“一粒米”≠“1”，日常概念不等价于数学概念，数学需要高度抽象.正确的前概念是学习数学概念的良好基础和铺垫，它的正迁移作用可成为数学概念教学的资源和新的增长点，可提高学生掌握新概念和知识结构的效率.如学生在学习分数之前就有了“将一个苹果分成四份，每人吃一份，占这个苹果的多少”这样关于部分—整体的生活体验，这对于学生理解分数概念的意义是有利的，但会对“无限”的理解产生障碍.如人们都有走捷径、抄近路的生活体验，这有利于学生学习三角形的性质概念：两边和大于第三边.

片面的或错误的前概念对新概念的学习有阻碍作用，它会影响学生对数学新概念的同化和顺应，形成错误的数学概念.如生活中人们对“垂直”概念的体会多是上下垂直关系.学生会把“平方运算”只与“正”联系在一起，“平方根”与“算术平方根”的理解混乱.在概念教学过程中要让学生充分暴露错误观念，正确看待自己原有的生活经验，把对事物表面现象观察及思维的结论与数学知识进行比较、反思，找出矛盾所在，经历认知上的冲突和震撼，改变不平衡的认知结构，用数学概念代替片面的或错误的前概念，促成新概念在原有概念网络中同化和顺应.

2.促进感性表征.数学概念的形成过程是以感觉、知觉和表象为基础，通过分析、综合、抽象、概括、理想化、纯粹化、系统化等思维活动，从个别到一般、从具体到抽象、从现象到本质的认识过程.原概念的形成过程展示了由实践经验、感性材料为基础所进行的“去粗取精”、“由表及里”的思维加工，典型地表现了人类认识中从感性到理性的飞跃.

（1）模型法.模型是指模拟原型的形式，不包括原型的全部特征，但能描述原型在数量及空间形式方面的本质特征.模型方法是以研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是逻辑方法的一种特有形式.由于数学是思维的产物，数学概念里的模型主要是思想模型.思想模型是物质模型在思维中的引申、根据建模的思想方法不同，又分为两类：一类是以形象化方法构建的具象模型，是人们在思维中通过对原型的简化和纯化而构造出来的，具有一定的形态结构特征；另一类是以抽象化方法构建的模型，是人们抽象出原型某方面的本质属性而构造出来的.例如“圆”来自于乒乓球、篮球、足球、太阳、月亮等.

（2）观察实验法.观察是积极的思维活动和稳定的有意注意，并借助经验作用于人的感官对客观事物进行形象感知和反映，是一种系统的、较持久的知觉.观察实验是学生获得感性认识的重要途径.运用实验展示有关的数学现象和过程，可使学生获得典型、生动、深刻且能反映事物数量关系和空间结构变化的感性认识.通过这种方法培养学生进行有目的、有计划的观察，经历顺序观察、分部观察、对比观察的过程，发展分析、综合、归纳、概括等思维能力.

（3）动态图法.斯涅普坎认为，在未区分出事物的本质特征和避开非本质特征之前，是不可能对事物进行归纳的.[4]教学中提供的标准形式、标准图用一种无声的语言给学生做出了限制数学概念对象的错误暗示.动态图为数学概念提供丰富的变式图形，用大量甚至无穷多（离散的或连续的）图形给学生以感性认识，创造出一种变化的、生动的情境，促使学生通过观察、思考变动图形中不变的性质，从而归纳出数学概念的内涵，构建数学概念的意义.在数学概念教学过程中，教师设计动态图形，运用旋转、平移、分割、叠加等方法，直观清晰地展示概念的发生、发展、变化、演变的过程，用形象阐释逻辑思维中的抽象定义.通过动态图促使学生对数学概念的认识从片面到全面，从现象到本质，从外部联系到内部联系，由感性认识上升到理性认识，逻辑思维与形象思维共同作用，获得更为丰富的经验和更加直观具体的概念图像，在动态变化中认识数学概念的本质.例如函数的奇偶性、周期性、连续性、可导性，图形的中心对称性、旋转对称性、轴对称性.用动态图帮助学生理解刘徽的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”极限思想，从而掌握极限概念.再比如说帮助学生理解不动点的概念、定积分的概念等.

3.克服思维定式的消极作用.面对丰富的实例，学生进行概括时，容易出现遗漏、扩展、异化等错误.学生对数学的思考往往来自于个别范例和具体活动.[5]所有的学习都涉及到原来经验的迁移，迁移量是以学生带到学习情境的原有知识为基础.[6]中学生（特别是初中学生）虽然处于逻辑思维开始居主导地位的年龄阶段.[7]但是由经验型的逻辑思维向理论型的抽象逻辑思维发展，具体的形象成分在思维过程中人起着很重要的作用，常常需要具体的、直观的、形象的、感性经验的支持，以排除理解、判断、推理上的障碍.

思维定式表现为一种迁移，有积极作用的迁移和消极作用的迁移之分.积极的思维定式是人们把头脑中已有的思维模式经过批判、反思之后恰当地运用到新的情境中，用于分析新的问题，促进问题解决.消极的思维定式是人们将头脑中已有的、习惯了的思维方式不加任何反思地，直接应用到新的问题情境中，固守这种分析问题、解决问题的模式，从而降低了问题解决的效率，甚至不能解决问题.思维定式的消极作用主要表现在：（1）用原来审视数学概念的思维方法对待新概念.这种情况在观察感知事物、分析、抽象、概括思维产物的各阶段都可能存在.（2）盲目推广.没有分析具体情况，不加批判地、盲目地按已有经验、结论、思想、方法对新概念进行推广.（3）思域狭窄化.在相对固定的领域里对数学新事物进行思考.如在对二面角概念的理解总是在平面内思考，在自然数领域内思考无理数.再如对“1-1+1-1+1-1+ΛΛ”的和认识，有几种观点：一种认为其和为1；一种认为其和为0；还有认为1和0是其和，1和0都不是其和，其和是别的数.

4.明确概念间的逻辑关系.明确数学概念的内涵是数学概念所反映的对象、现象、过程所特有的本质属性；数学概念的外延式具有数学概念所蕴含本质属性的全体对象.明确数学概念的内涵与外延之间的反变关系.明确数学概念间主要的几种关系：全同关系、从属关系、交叉关系和全异关系.明确给数学概念下定义必须满足定义要相称、不能恶性循环、一般不用否定形式、应简明的基本要求.运算、操作是数学思维发生之处，是完整概念形成的基石，它为学生理解领会提供了必要条件.[8]

5.建构概念网络.任何一个数学概念都不是孤立的.对相邻概念与新概念的属性进行比较、分析、辩证，概括出它们的共性及逻辑关系，建立概念网络，培养学生的分析思维和辩证思维能力.概念网络为学生提供了一种学习数学语言的形式和建构数学知识结构的有效手段，有利于对数学概念进行整合，有利于学生把握数学概念的内涵与外延，能较好地提高学生数学概念结构化的程度，从而建立良好的数学认知结构.数学概念网络主要表现概念间的主要联系，反映各概念的出现顺序，概念间的逻辑关系，演变形态和属性变化.公理化体系是这种系统性的最高反映.例如，多边形就可形成一种立体结构的概念网络，它是“谱系”与“蛛网”的混合.[9]已知概念在“高观点”下有所发展，如平行线是交于无限远点的直线，因而平行线也可以看作是“角”的两边；柱面可以看作顶点在无限远处的“锥面”.又如广义梯形可以包括梯形（课本给出的形式）、三角形（截线之一过角的顶点）、平行四边形（“角”的顶点在无限远点）.

参考文献：

[1]皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪细，译.北京：商务印书馆，1986.

[2]何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略[J].数学教育学报，2002，11（1）.

[3]高文.教学模式论[M].上海：上海教育出版社，2002.

[4]斯涅普坎著，时勘译.数学教学心理学[M].重庆：重庆出版社，1987.

[5]张殿宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态[J].数学教育学报，2002，11（2）.

[6]John D Bransford.人类是如何学习的——大脑、心理、经验及学校[M].上海：华东师范大学出版社，2002.

[7]林崇德.学习与发展[M].北京：北京师范大学出版社，1999.

[8]李士錡.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996，5（3）.

[9]郑毓信.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

作者简介：李红梅（1979-），女，四川乐至县人，硕士，讲师，研究方向：主要从事数学课程与教学论研究；张晓梅（1971-），女，四川达州市人，讲师，硕士，研究方向：主要从事概率论及应用统计研究。