高考数学必做客观题——函数与基本初等函数

赵银仓

1 函数及其表示

（ ）必做1 函数y= - 的定义域为（ ）

A. （0，2] B. （0，2）

C. （1，2） D. [1，2）

精妙解法 要使式子有意义，则有2-x>0，lgx>0，x>0，解得1

极速突击 此题中出现了分式、开方及对数运算，要使每一个运算有意义，才能确保函数的解析式有意义.求函数的定义域，对于给出解析式的函数就是让解析式中所含的所有运算都有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集. 在高考中此类问题中常常出现分式、偶次根式、对数式等运算，要弄清每个运算的要求. 由实际问题确定的函数，其定义域由实际问题的研究范围来确定，复合抽象函数的定义域则先由外层函数有意义列不等式，再结合内层函数有意义的条件来确定.

（ ）必做2 已知函数f（x）= ，x≥0，-x2-4x，x<0，若f（x）≤3，则x的取值范围是__________.

精妙解法 由题意知x≥0， ≤3， 或x<0，-x2-4x≤3，解得0≤x≤9或-1≤x<0或x≤-3，所以x的取值范围是[-1，9]∪（-∞，-3].

极速突击 分段函数求值，要先判断自变量值的取值范围，再代入相应的解析式计算.

误点警示 本题涉及分类讨论思想，最后的结果是三种情况的并集.

（ ）必做3 设当x≥0时，f（x）=2；当x<0时， f（x）=1，又规定：g（x）= （x>0），则函数y=g（x）的解析式为___________.

精妙解法 当0

当1≤x<2时，x-1≥0，x-2<0，所以g（x）= = ；

当x≥2时，x-1>0，x-2≥0，所以g（x）= =2.

综上得g（x）=1，0

极速突击 换元法与代入法是求函数解析式常用的方法，如此题中用代入法，将x-1，x-2当作x代入f（x），则可分别得到复合函数f（x-1）与f（x-2）的解析式，但问题是f（x）的解析式是以零为分段点来分段表示的，所以又要用换元法确定新的分段点，由x-1=0，x-2=0，得分段点为1和2. 所以求解析式往往是上述两种方法结合使用的.

误点警示 本题容易出现的错误是没有弄清分段点，盲目选择解析式代入，其实就是要弄清分段函数与复合函数的相关关系.

金刊提醒

函数的概念是函数部分的核心，解决函数问题要弄清其定义域与对应关系.对应关系的常用表示方法：解析式法、图表法、图象法，求函数的定义域与解析式是高考中的常见问题. 求解析式的常用方法：代入法、换元法、配凑法等.分段函数问题的解决涉及分类讨论思想，容易出现错误，它是高考的热点问题，要特别关注与分段函数有关的问题.

2 函数的基本性质

（ ）必做1 函数y=2x-1在区间（k-1，k+1）内不单调，则k的取值范围是（ ）

A. （-1，+∞） B. （-∞，1）

C. （-1，1） D. （0，2）

精妙解法 由于函数y=2x-1在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，而函数在区间（k-1，k+1）内不单调，所以有k-1<0

极速突击 根据y=2x-1的图象特征，判断其单调性，由于此函数为连续函数，只要使其极小点在区间（k-1，k+1）内，即在此区间上不单调.函数单调性的判断方法有很多，如定义法、图象法、复合函数法、导数法等. 不单调对连续函数而言，就是在区间上有极值点.

（ ）必做2 已知f（x）满足f（x+4）=f（x）和f（-x）=-f（x），当x∈（0，2）时， f（x）=2x2，则f（7）=_______.

精妙解法 由已知得f（x）是以4为周期的奇函数，所以f（7）=f（7-8）=f（-1）=-f（1）.

又当x∈（0，2）时， f（x）=2x2，所以f（7）=-2×12=-2.

极速突击 利用函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，将已知区间外的自变量的取值转化到已知区间内，代入解析式进行计算，是解决这类问题的常用方法.

（ ）必做3 设定义在[-2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（m）+f（m-1）>0，则实数m的取值范围为__________.

精妙解法 由f（m）+f（m-1）>0，得f（m）>-f（m-1），因为f（x）在[-2，2]上为奇函数，所以f（1-m）m，解得-1≤m< . 所以实数m的取值范围为-1， .

极速突击 与抽象函数有关的不等式，通常利用函数的单调性去掉函数符号，转化为关于自变量之间的不等式. 解决此类问题的关键是判断函数在定义域上的单调性，并要注意自变量要在定义域内这一隐含条件.

误点警示 本题易忽视函数定义域对变量取值的限制，即忽视m，1-m∈[-2，2]而致误.

（ ）必做4 函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b] 哿D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数. 现有f（x）= -k是对称函数，那么k的取值范围是_____.

精妙解法 因为f（x）= -k在其定义域（-∞，2]上为减函数，要使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，则须满足f（a）=-a， f（b）=-b，a

令 =t，t≥0，上述问题即为函数y=-t2+t+2=-t- + （t≥0）的图象与直线y=k有两个不同的交点，可得2≤k< . 所以k的取值范围是2， .

极速突击 由f（x）为减函数知， f（x）在[a，b]上的最大值与最小值分别是左、右端点处的函数值，原问题变为方程有两个不同解的问题.求函数值域的方法主要有：单调性法、换元法、均值不等式法、图象法等.

误点警示 在换元后易理解为求函数y=-t2+t+2在t≥0时的值域.

金刊提醒

函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的主要性质，理解和应用时注意抓住定义，以及反应在图象上的特征，注意数形结合.解决与抽象函数有关的单调性问题一般用单调性的定义.

3 基本初等函数

（ ）必做1 若函数f（x）= -x2+（2a-1）x有四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）

A. a> B.

C. a> D. a<

精妙解法 f（x）=-x2+（2a-1）x是由函数g（x）=-x2+（2a-1）x变化得到，先去掉g（x）在y轴左侧的图象，保留g（x）在y轴右侧的图象，再作其关于y轴对称的图象. 由题意，g（x）=-x2+（2a-1）x的对称轴在y轴的右侧，所以 >0，即a> . 选C.

（ ）必做2 设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时， f（x）=3x-1，则有（ ）

A. f

B. f

C. f

D. f

精妙解法 由已知条件可得f（x）=f（2-x），所以f =f ， f =f .

又x≥1时， f（x）=3x-1在（1，+∞）上是单调增函数，所以f

极速突击 比较具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小的方法是：

（1）单调性法：先利用相关性质，将待比较函数值调节到同一单调区间内，然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.

（2）图象法：先利用相关性质作出函数的图象，再结合图象比较大小.

（ ）必做3 若函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为__________.

精妙解法 由题意知函数f（x）在区间-∞， 单调递减，若设u（x）=x2-ax+3，则y=logau. 因为u（x）在区间-∞， 单调递减，那么y=logau单调递增，即a>1；

由定义域知u = -a· +3=- +3>0，所以-2

综上所述，a的取值范围为（1，2 ）.

极速突击 二次函数的单调性由开口和对称轴决定，对数函数的单调性由底数决定，复合函数的单调性由内外函数共同决定（同增异减）.

误点警示 本题易错解为a∈（1，+∞），原因是忽略定义域的要求.对数函数、幂函数都要注意定义域（使式子有意义）.

金刊提醒

基本初等函数，是研究其他较复杂函数的基础，所以要熟练掌握它们的定义、性质、图象等，对于指数和对数式，还要注意它们的运算法则.

4 函数与方程（不等式）

（ ）必做1 已知f（x）=ax2-bx+c，若不等式f（x）>0的解集为（1，3），则关于t的不等式f（t+8）

精妙解法 由题意知f（x）=a（x-x1）（x-x2）=a（x-1）（x-3），且a<0，故二次函数在区间[2，+∞）上是减函数.

又因为8+t>8，2+t2≥2，故由二次函数的单调性知不等式f（t+8）2+t2，即t2-t-6<0，故t<3，即不等式的解集为{t-3

极速突击 二次函数是一种重要的基本初等函数，研究它的单调性、零点、顶点等问题，注意利用图象（开口、对称轴）帮助分析.

（ ）必做2 设函数f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，函数g（x）=log x，则方程f（x）=g（x）的实数根的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

精妙解法 画出f（x）和g（x）的图象，如图1所示，从图中不难看出方程f（x）=g（x）有3个零点. 选C.

图1

极速突击 方程根的个数问题，如果不能直接求解，可转化为函数的零点问题，或者两个函数图象的交点个数问题，用数形结合思想解决.

误点警示 本题作f（x）的图象时，忘记除去每条线段的右端点，也就是忽视了定义域中的每一个分段区间均不包含右端点这一限制.

（ ）必做3 已知函数f（x）=3x+x-5的零点x0∈[a，b]，且b-a=1，a，b∈N 鄢，则a+b=________.

精妙解法 由已知，x0∈[a，b]，且b-a=1，a，b∈N 鄢，所以a，b的可能取值为a=1，b=2，或a=2，b=3，….

又f（1）=3+1-5=-1<0， f（2）=32+2-5=6>0，所以f（1）f（2）<0，故a=1，b=2符合要求.

又因为f（x）为增函数，当x取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，所以a=1，b=2. 所以a+b=1+2=3.

极速突击 单调函数在区间（a，b）上有零点，必须满足两个端点处的函数值异号，在[a，b]上还要考虑端点处是否为零点的情况.

误点警示 在[a，b]上的两个端点处函数值是否异号，只是说明在（a，b）上是否有零点，容易忽视对端点值的验证，本题由于端点处的函数值恒不为零，恰好不受影响，但解决类似问题时不可忽视.

金刊提醒

函数与方程、函数与不等式问题，涉及多种数学思想，如数形结合思想、转化思想、函数与方程思想等.零点问题是这类问题中的一个重要题型，零点的存在性定理是判断在区间（a，b）上是否有零点的重要方法，是解决方程的解（或函数的零点）的个数问题或存在性问题的重要依据.

5 函数的图象及其应用

（ ）必做1 函数y= 的图象大致是（ ）

A B

C D

精妙解法 函数y=f（x）= 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B. 当x=1时， f（1）= =0，排除C，选D.

极速突击 已知函数式选择函数图象，这类题有两种做法：直接法，结合基本初等函数的图象，用变换法（平移、翻折、伸缩等）得到图象；排除法，用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊点等判断.

（ ）必做2 已知函数f（x）=ax2- x- （a>0），若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使得f（x1）-f（x2）≥ 成立，则实数a的最小值为_____________.

精妙解法 因为函数f（x）为二次函数，开口向上，所以当闭区间是以对称轴为中心，长度为2时，此时取得的差的最小值为所有闭区间上的最大值与最小值的差的最小值，即原问题等价于f +1-f ≥ ，所以a +1 - +1-a + × ≥ ，整理得a≥ . 所以实数a的最小值为 .

极速突击 函数为二次函数，开口向上. 任意长度为2的闭区间上存在两点使f（x1）-f（x2）≥ 成立，须在闭区间上的最大值与最小值的差的最小值不小于 . 根据图象特征转化条件. 与函数相关的不等式恒成立问题，通常根据函数的特殊点、性质，作出示意图，再根据示意图得出不等式的条件.

（ ）必做3 函数f（x）=cosπx与函数g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为_______.

精妙解法 将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数y=f（x+1）=cosπ（x+1）=cos（πx+π）=-cosπx，y=g（x+1）=log x ，则此时两个新函数均为偶函数.

在同一坐标系下分别作出函数y=f（x+1）=-cosπx和y=g（x+1）=log x 的图象，如图1，由偶函数的性质可知，四个交点关于原点对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，

图1

所以函数f（x）=cosπx与g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为4.

极速突击 对于图象的交点问题（方程的根），直接求解有困难时，利用图象观察特点，整体解决，经常还会用到数列的思想，如特殊数列的通项、求和；合项求和等.

金刊提醒

函数的图象从直观上很好地反映了函数的性质，观察函数的图象时要抓住其关键特征，如对称性、过定点、单调性、定义域和值域等，由此进行综合判断；在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要准确，否则易出错.

6 函数的综合应用

（ ）必做1 设函数f（x）的定义域为D，如果 坌x∈D， 埚y∈D，使 =c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为c.

已知四个函数：①y=x3（x∈R）；②y= （x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=2sinx+1（x∈R）.

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是__________.（填满足要求的所有的函数的序号）

精妙解法 当y=x3（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得x3+y3=2，所以 坌x∈R都可解得y= ，y∈R，所以①是“均值”为1的函数；

当y= （x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得 + =2，令x=-2，则 =4， =-2，此方程无解，所以②不是“均值”为1的函数；

当y=lnx（x∈（0，+∞））时，由f（x）+f（y）=2得lnx+lny=2，即xy=e2，所以 坌x∈（0，+∞）都可解得y= ，y∈（0，+∞），所以③是“均值”为1的函数；

当y=2sinx+1（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得sinx+siny=0，所以 坌x∈R，取y=-x，y∈R，所以④是“均值”为1的函数.

所以满足条件的函数是①③④.

极速突击 依题意得f（x）+f（y）=2，将函数表达式代入可得关于x，y的等式，然后验证对于每一个满足要求的x（将x视作常数），探究关于y的方程是否在指定范围内有解. 对于新定义的问题，准确理解定义是解题的关键，通过化归将问题转化为熟悉的题型，与函数有关的新定义题型，要注意应用函数与方程的思想分析问题.

（ ）必做2 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有 >0，给出下列命题：

① f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有两个零点.

其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）.

精妙解法 因为x1≠x2时，都有 >0，所以f（x）在[0，3]上递增. 因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），所以f（-3）=0. 因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0. ①正确.

因为f（x+6）=f（x），所以f（x）周期为6，画出示意图如下：

图1

由图象知②正确，③④不正确，填①②.

极速突击 用函数性质得函数图象，用函数图象进一步研究函数性质.

（ ）必做3 定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：

①f（x）-f（y）=f ；②当x∈（-1，0）时， f（x）>0.

若P=f + ，Q=f ，R=f（0），则P，Q，R的大小关系为______________.

精妙解法 令x=y=0，代入条件①得f（0）-f（0）=f（0），得f（0）=0.

令x=0，代入条件①得f（-y）=-f（y），所以y=f（x）在（-1，1）上为奇函数.

令-10，所以 <0.

又x+1>0，1-y>0，所以（x+1）（1-y）>0，变形得 >-1.

故-1< <0，结合条件②得f >0.

再由①得f（x）-f（y）=f >0，即f（x）>f（y）.

所以y=f（x）在（-1，1）上为减函数.

因为P=f +f =f - f- =f =f ，又Q=f ，R=f（0），且 > >0，所以f < f < f（0）.

所以R>P>Q.

此题也可以这样考虑：由前知，f（0）=0， f <0，同理， f <0.

又f -f =f =f- >0，所以f < f < f（0）.

极速突击 赋值法是研究抽象函数性质的重要方法，解决与抽象函数有关的函数值的比较大小问题的常用方法是利用函数的单调性.

金刊提醒

函数的定义、性质、图象是解决函数的综合性问题的基础，要熟悉基本初等函数的定义、性质、图象，对于较为综合的函数问题，往往要从研究函数的性质入手，并注意函数性质在解题中的应用.

误点警示 在[a，b]上的两个端点处函数值是否异号，只是说明在（a，b）上是否有零点，容易忽视对端点值的验证，本题由于端点处的函数值恒不为零，恰好不受影响，但解决类似问题时不可忽视.

金刊提醒

函数与方程、函数与不等式问题，涉及多种数学思想，如数形结合思想、转化思想、函数与方程思想等.零点问题是这类问题中的一个重要题型，零点的存在性定理是判断在区间（a，b）上是否有零点的重要方法，是解决方程的解（或函数的零点）的个数问题或存在性问题的重要依据.

5 函数的图象及其应用

（ ）必做1 函数y= 的图象大致是（ ）

A B

C D

精妙解法 函数y=f（x）= 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B. 当x=1时， f（1）= =0，排除C，选D.

极速突击 已知函数式选择函数图象，这类题有两种做法：直接法，结合基本初等函数的图象，用变换法（平移、翻折、伸缩等）得到图象；排除法，用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊点等判断.

（ ）必做2 已知函数f（x）=ax2- x- （a>0），若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使得f（x1）-f（x2）≥ 成立，则实数a的最小值为_____________.

精妙解法 因为函数f（x）为二次函数，开口向上，所以当闭区间是以对称轴为中心，长度为2时，此时取得的差的最小值为所有闭区间上的最大值与最小值的差的最小值，即原问题等价于f +1-f ≥ ，所以a +1 - +1-a + × ≥ ，整理得a≥ . 所以实数a的最小值为 .

极速突击 函数为二次函数，开口向上. 任意长度为2的闭区间上存在两点使f（x1）-f（x2）≥ 成立，须在闭区间上的最大值与最小值的差的最小值不小于 . 根据图象特征转化条件. 与函数相关的不等式恒成立问题，通常根据函数的特殊点、性质，作出示意图，再根据示意图得出不等式的条件.

（ ）必做3 函数f（x）=cosπx与函数g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为_______.

精妙解法 将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数y=f（x+1）=cosπ（x+1）=cos（πx+π）=-cosπx，y=g（x+1）=log x ，则此时两个新函数均为偶函数.

在同一坐标系下分别作出函数y=f（x+1）=-cosπx和y=g（x+1）=log x 的图象，如图1，由偶函数的性质可知，四个交点关于原点对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，

图1

所以函数f（x）=cosπx与g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为4.

极速突击 对于图象的交点问题（方程的根），直接求解有困难时，利用图象观察特点，整体解决，经常还会用到数列的思想，如特殊数列的通项、求和；合项求和等.

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函数的图象从直观上很好地反映了函数的性质，观察函数的图象时要抓住其关键特征，如对称性、过定点、单调性、定义域和值域等，由此进行综合判断；在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要准确，否则易出错.

6 函数的综合应用

（ ）必做1 设函数f（x）的定义域为D，如果 坌x∈D， 埚y∈D，使 =c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为c.

已知四个函数：①y=x3（x∈R）；②y= （x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=2sinx+1（x∈R）.

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是__________.（填满足要求的所有的函数的序号）

精妙解法 当y=x3（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得x3+y3=2，所以 坌x∈R都可解得y= ，y∈R，所以①是“均值”为1的函数；

当y= （x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得 + =2，令x=-2，则 =4， =-2，此方程无解，所以②不是“均值”为1的函数；

当y=lnx（x∈（0，+∞））时，由f（x）+f（y）=2得lnx+lny=2，即xy=e2，所以 坌x∈（0，+∞）都可解得y= ，y∈（0，+∞），所以③是“均值”为1的函数；

当y=2sinx+1（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得sinx+siny=0，所以 坌x∈R，取y=-x，y∈R，所以④是“均值”为1的函数.

所以满足条件的函数是①③④.

极速突击 依题意得f（x）+f（y）=2，将函数表达式代入可得关于x，y的等式，然后验证对于每一个满足要求的x（将x视作常数），探究关于y的方程是否在指定范围内有解. 对于新定义的问题，准确理解定义是解题的关键，通过化归将问题转化为熟悉的题型，与函数有关的新定义题型，要注意应用函数与方程的思想分析问题.

（ ）必做2 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有 >0，给出下列命题：

① f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有两个零点.

其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）.

精妙解法 因为x1≠x2时，都有 >0，所以f（x）在[0，3]上递增. 因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），所以f（-3）=0. 因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0. ①正确.

因为f（x+6）=f（x），所以f（x）周期为6，画出示意图如下：

图1

由图象知②正确，③④不正确，填①②.

极速突击 用函数性质得函数图象，用函数图象进一步研究函数性质.

（ ）必做3 定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：

①f（x）-f（y）=f ；②当x∈（-1，0）时， f（x）>0.

若P=f + ，Q=f ，R=f（0），则P，Q，R的大小关系为______________.

精妙解法 令x=y=0，代入条件①得f（0）-f（0）=f（0），得f（0）=0.

令x=0，代入条件①得f（-y）=-f（y），所以y=f（x）在（-1，1）上为奇函数.

令-10，所以 <0.

又x+1>0，1-y>0，所以（x+1）（1-y）>0，变形得 >-1.

故-1< <0，结合条件②得f >0.

再由①得f（x）-f（y）=f >0，即f（x）>f（y）.

所以y=f（x）在（-1，1）上为减函数.

因为P=f +f =f - f- =f =f ，又Q=f ，R=f（0），且 > >0，所以f < f < f（0）.

所以R>P>Q.

此题也可以这样考虑：由前知，f（0）=0， f <0，同理， f <0.

又f -f =f =f- >0，所以f < f < f（0）.

极速突击 赋值法是研究抽象函数性质的重要方法，解决与抽象函数有关的函数值的比较大小问题的常用方法是利用函数的单调性.

金刊提醒

函数的定义、性质、图象是解决函数的综合性问题的基础，要熟悉基本初等函数的定义、性质、图象，对于较为综合的函数问题，往往要从研究函数的性质入手，并注意函数性质在解题中的应用.

误点警示 在[a，b]上的两个端点处函数值是否异号，只是说明在（a，b）上是否有零点，容易忽视对端点值的验证，本题由于端点处的函数值恒不为零，恰好不受影响，但解决类似问题时不可忽视.

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函数与方程、函数与不等式问题，涉及多种数学思想，如数形结合思想、转化思想、函数与方程思想等.零点问题是这类问题中的一个重要题型，零点的存在性定理是判断在区间（a，b）上是否有零点的重要方法，是解决方程的解（或函数的零点）的个数问题或存在性问题的重要依据.

5 函数的图象及其应用

（ ）必做1 函数y= 的图象大致是（ ）

A B

C D

精妙解法 函数y=f（x）= 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B. 当x=1时， f（1）= =0，排除C，选D.

极速突击 已知函数式选择函数图象，这类题有两种做法：直接法，结合基本初等函数的图象，用变换法（平移、翻折、伸缩等）得到图象；排除法，用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊点等判断.

（ ）必做2 已知函数f（x）=ax2- x- （a>0），若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使得f（x1）-f（x2）≥ 成立，则实数a的最小值为_____________.

精妙解法 因为函数f（x）为二次函数，开口向上，所以当闭区间是以对称轴为中心，长度为2时，此时取得的差的最小值为所有闭区间上的最大值与最小值的差的最小值，即原问题等价于f +1-f ≥ ，所以a +1 - +1-a + × ≥ ，整理得a≥ . 所以实数a的最小值为 .

极速突击 函数为二次函数，开口向上. 任意长度为2的闭区间上存在两点使f（x1）-f（x2）≥ 成立，须在闭区间上的最大值与最小值的差的最小值不小于 . 根据图象特征转化条件. 与函数相关的不等式恒成立问题，通常根据函数的特殊点、性质，作出示意图，再根据示意图得出不等式的条件.

（ ）必做3 函数f（x）=cosπx与函数g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为_______.

精妙解法 将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数y=f（x+1）=cosπ（x+1）=cos（πx+π）=-cosπx，y=g（x+1）=log x ，则此时两个新函数均为偶函数.

在同一坐标系下分别作出函数y=f（x+1）=-cosπx和y=g（x+1）=log x 的图象，如图1，由偶函数的性质可知，四个交点关于原点对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，

图1

所以函数f（x）=cosπx与g（x）=log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为4.

极速突击 对于图象的交点问题（方程的根），直接求解有困难时，利用图象观察特点，整体解决，经常还会用到数列的思想，如特殊数列的通项、求和；合项求和等.

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函数的图象从直观上很好地反映了函数的性质，观察函数的图象时要抓住其关键特征，如对称性、过定点、单调性、定义域和值域等，由此进行综合判断；在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要准确，否则易出错.

6 函数的综合应用

（ ）必做1 设函数f（x）的定义域为D，如果 坌x∈D， 埚y∈D，使 =c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为c.

已知四个函数：①y=x3（x∈R）；②y= （x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=2sinx+1（x∈R）.

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是__________.（填满足要求的所有的函数的序号）

精妙解法 当y=x3（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得x3+y3=2，所以 坌x∈R都可解得y= ，y∈R，所以①是“均值”为1的函数；

当y= （x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得 + =2，令x=-2，则 =4， =-2，此方程无解，所以②不是“均值”为1的函数；

当y=lnx（x∈（0，+∞））时，由f（x）+f（y）=2得lnx+lny=2，即xy=e2，所以 坌x∈（0，+∞）都可解得y= ，y∈（0，+∞），所以③是“均值”为1的函数；

当y=2sinx+1（x∈R）时，由f（x）+f（y）=2得sinx+siny=0，所以 坌x∈R，取y=-x，y∈R，所以④是“均值”为1的函数.

所以满足条件的函数是①③④.

极速突击 依题意得f（x）+f（y）=2，将函数表达式代入可得关于x，y的等式，然后验证对于每一个满足要求的x（将x视作常数），探究关于y的方程是否在指定范围内有解. 对于新定义的问题，准确理解定义是解题的关键，通过化归将问题转化为熟悉的题型，与函数有关的新定义题型，要注意应用函数与方程的思想分析问题.

（ ）必做2 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有 >0，给出下列命题：

① f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有两个零点.

其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）.

精妙解法 因为x1≠x2时，都有 >0，所以f（x）在[0，3]上递增. 因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），所以f（-3）=0. 因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0. ①正确.

因为f（x+6）=f（x），所以f（x）周期为6，画出示意图如下：

图1

由图象知②正确，③④不正确，填①②.

极速突击 用函数性质得函数图象，用函数图象进一步研究函数性质.

（ ）必做3 定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：

①f（x）-f（y）=f ；②当x∈（-1，0）时， f（x）>0.

若P=f + ，Q=f ，R=f（0），则P，Q，R的大小关系为______________.

精妙解法 令x=y=0，代入条件①得f（0）-f（0）=f（0），得f（0）=0.

令x=0，代入条件①得f（-y）=-f（y），所以y=f（x）在（-1，1）上为奇函数.

令-10，所以 <0.

又x+1>0，1-y>0，所以（x+1）（1-y）>0，变形得 >-1.

故-1< <0，结合条件②得f >0.

再由①得f（x）-f（y）=f >0，即f（x）>f（y）.

所以y=f（x）在（-1，1）上为减函数.

因为P=f +f =f - f- =f =f ，又Q=f ，R=f（0），且 > >0，所以f < f < f（0）.

所以R>P>Q.

此题也可以这样考虑：由前知，f（0）=0， f <0，同理， f <0.

又f -f =f =f- >0，所以f < f < f（0）.

极速突击 赋值法是研究抽象函数性质的重要方法，解决与抽象函数有关的函数值的比较大小问题的常用方法是利用函数的单调性.

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函数的定义、性质、图象是解决函数的综合性问题的基础，要熟悉基本初等函数的定义、性质、图象，对于较为综合的函数问题，往往要从研究函数的性质入手，并注意函数性质在解题中的应用.