高考数学必做客观题——数列

范东晖

1 数列的概念及表示

（ ）必做1 若数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题：

①若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}也是递增数列；

②数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；

③若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1·S2·…·Sk=0的充要条件是a1·a2·…·ak=0；

④若{an}是等比数列，则S1·S2·…·Sk=0（k≥2，k∈N）的充要条件是an+an+1=0.

其中，正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

精妙解法 数列{an}的前n项和为Sn，故Sn=a1+a2+…+an. 若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an<0时，数列{Sn}是递减数列，故①不正确. 由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，满足{Sn}是递增数列，但不满足数列{an}的各项均为正数，故②不正确. 若{an}是等差数列（公差d≠0），则由S1·S2·…·Sk=0，不能推出a1·a2·…·ak=0，如数列：-3，-1，1，3，满足S4=0，但a1·a2·a3·a4≠0，故③不正确. 若{an}是等比数列，则由S1·S2·…·Sk=0（k≥2，k∈N）可得数列的{an}的公比为-1，故有an+an+1=0. 由an+an+1=0可得数列{an}的公比为-1，可得S1·S2·…·Sk=0（k≥2，k∈N），故④正确. 选B.

极速突击 对于不定项选择的问题，要特别注意容易出错的地方，对每一个问题从正反两面去分析，其中举反例是否定一个命题的常用方法.本题还需好好把握等差、等比数列的概念、性质、易错点.

误点警示 对于①，很多同学受思维定式，认为：{an}是递增数列，则an>an-1，Sn会越加越大，即Sn会增大，其实当an<0时，Sn会越加越小，这个可以根据等差数列的前n项和公式Sn=na1+ （n-1）nd（可看作二次函数）来理解；对于②，易错点在于{Sn}是递增数列，则Sn-Sn-1>0（n≥2），即an>0，所以每项均为正，其实要注意的是an>0时n是从第二项开始的，故首项a1可以等于0，所以不正确，要注意下标；对于③，要把握好切入点，S1·S2·…·Sk=0只要至少一项为零即可，那么其中一项S 为零，就无需a1·a2·…·ak=0；对于④，等比数列Sn= （q≠1），当Sn=0，则此时q=-1能满足，所以an+an+1=0，反过来也成立.

（ ）必做2 已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

精妙解法 由题意可知，数列3，7，11，…，139的通项公式为an=4n-1，139是数列第35项；数列2，9，16，…，142的通项公式为bm=7m-5，142是数列第21项. 设数列3，7，11，…，139的第n项与数列2，9，16，…，142的第m项相同，则4n-1=7m-5，即n= = -1. 所以m为4的倍数，m小于21，n小于35，由此可知，m只能为4，8，12，16，20.此时n的对应值为6，13，20，27，34. 所以，公共项的个数为5. 故选B.

极速突击 这类问题的做题步骤如下：（1）写出给定两个数列的通项公式；（2）令第一个数列的第n项值与第二个数列的第m项值相同；（3）根据题中条件，得出m，n的限制条件或规律；（4）利用等式及m，n的限制条件或规律列举出相等项的个数.

误点警示 本题的易错点在于第一个数列的项与第二个数列的项是不同的，要分别设出来，通过题目给定的条件进行列举讨论.

金刊提醒

高考关于数列知识的考查，大部分都是基于《数列的概念与简单表示法》上进行的，主要考查方式有：

（1）以数列的前几项为背景，考查“归纳——推理”思想；

（2）考查数列的有关概念和性质；

（3）考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等.

2 等差数列

（ ）必做1 等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S5-13a4+5a8=10，则下列数中恒为常数的是（ ）

A. a8 B. S9 C. a17 D. S17

精妙解法 由2S5-13a4+5a8=10可得a1+8d=5，而S17= =17（a1+8d）=85，选D.

极速突击 在等差数列中，首项和公差是基本量，一般都转化为用基本量表示，a1，an，d，n，Sn五个量中“知三求二”，一般用方程思想求解，有时也可用首项、末项和中项来表示，并注意整体代换.

（ ）必做2 已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，若 = ，则 的值是______.

精妙解法 等差数列的前n项和为Sn=an2+bn，故可设Sn=（2n+2）·kn，Tn=（n+3）·kn，所以a10=S10-S9=40k，b9=T9-T8=20k，所以 =2.

极速突击 本题考查了等差数列的通项与求和之间的关系： = ，以及等差数列的函数特征：an=An+B，Sn=An2+Bn.本题的亮点在于非常规，平时常考的是an，bn的下标一致，则可以利用 = ，但当an，bn的下标不一致时，此性质就不能再用，只能借助于等差数列的函数特征，设出参数，通过分式关系约去参数，即可算出最终答案.

误点警示 等差数列的前n项和为二次函数的形式，若将Sn，Tn假设成Sn=（2n+2）·k，Tn=（n+3）·k，则是错误的.endprint

（ ）必做3 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=1+cos2 an+sin2 ，则该数列的前18项和为（ ）

A. 2101 B. 1067

C. 1012 D. 2012

精妙解法 当n为奇数时，an+2=an+1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，an+2=2an，这是一个以2为首项，公比为2的等比数列，

所以S18=a1+a2+…+a17+a18=（a1+a3+…+a17）+（a2+a4+…+a18）=9a1+ ×1+ =9+36+1022=1067.

极速突击 在等差数列中，首项和公差是基本量；a1，an，d，n，Sn五个量中知三求二，一般用方程思想求解，有时也可用首项、末项和中项来表示，并注意整体代换.

金刊提醒

等差数列及其前n项和的基本解题思路是：

（1）方程思想，即将an与Sn统一表示为a1和d的方程（组），以求其基本量（五个基本量中，通常先求出a1和d，然后再求其他的基本量）.

（2）函数思想，即利用函数思想解决数列问题，等差数列的通项、求和公式可分别表示成an=kn+b（一次函数），Sn=An2+Bn（常数项为零的二次函数）（n∈N 鄢）等.

（3）巧用性质，即运用等差数列的相关性质解题，常可整体代换，回避单个求值，较为常用的如：a，b，c成等差 圳2b=a+c；m+n=p+q 圯am+an=ap+aq（n，m，p，q∈N 鄢）；有关和的性质，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差数列等.

3 等比数列

（ ）必做1 在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10= ，a8·a9=- ，则 + + + =__________.

精妙解法 由 + = ， + = ，而a8·a9=a7·a10，所以 + + + = = =- .

极速突击 与等差数列一样，也要充分运用相关性质解题，常可整体代换.

（ ）必做2 已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3=________.

精妙解法 因为S3，S9，S6成等差数列，所以2S9=S6+S3，显然q≠1. 由等比数列的前n项和公式有 = + ，化简得2q9=q6+q3. 又q≠0，所以2q6=q3+1，解得q3=- 或q3=1（舍），故q3=- .

极速突击 求等比数列{an}的前n项和时，需注意对公比q的讨论，当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn= = .

（ ）必做3 已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得 =4a1，则 + 的最小值为_________.

精妙解法 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，可得a5q2=a5q+2a5，所以q=2. 因为 =4a1，所以q =16，2 =24，所以m+n=6. 所以 + = ·（m+n） + = 1+4+ + ≥ 5+2 = （5+4）= ，当且仅当 = 时，等号成立，故 + 的最小值等于 .

极速突击 在等比数列中，关注的基本量是：首项和公比；a1，an，q，n，Sn五个量中“知三求二”，常常用方程法来解.

金刊提醒

等比数列及其前n项和的基本解题思路是：

（1）方程思想，即将an与Sn统一表示为a1和q的方程（组），以求其基本量（五个基本量中，通常先求出a1和q，然后再求其他的基本量）.

（2）巧用性质，即运用等比数列的相关性质解题，常可整体代换，回避单个求值，较为常用的如：a，b，c成等比 圯b2=ac；m+n=p+q 圯aman=apaq（n，m，p，q∈N 鄢）；有关和的性质，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等比数列等.需要指出的是，等差、等比数列的性质具有对称性，因此可用类比的思想理解和记忆.

4 递推数列

（ ）必做1 在数列{an}中，a1=0， - =1，设bn= ，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S99=_________.

精妙解法 由题意可得，数列 是以1为首项、1为公差的等差数列，所以 =n，从而有an= ，所以bn= = = - ，所以数列{bn}的前99项的和为S =1- + - +…+ - =1- = .

极速突击 将 看成一个整体，先求出an的通项公式，而后再求出bn的通项公式.

（ ）必做2 已知数列{an}满足a1=0，a2=1，an+2=3an+1-2an，则{an}的通项公式an=_________.

精妙解法 由an+2=3an+1-2an，所以a -an+1=2（an+1-an），所以 =2，所以数列{an+1-an}是以1为首项以2为公比的等比数列，所以an+1-an=2n-1. 所以a2-a1=20，a3-a2=21，a4-a3=22，…，an-an-1=2n-2，所以an-a1=20+21+…+2n-2= =2n-1-1，所以an=2n-1-1.

极速突击 从递推关系寻求数列规律，需要通过观察，对原来的关系组合、变形等，找出一组新的关系；通常转化为基本的等差或等比数列求解.

（ ）必做3 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1= ，且对任意正整数m，n，都有am+n=am·an，若Sn

A. B. C. D. 2

精妙解法 对任意正整数m，n，都有am+n=am·an，取m=1，则有an+1=an·a1 圯 =a1= ，故数列{an}是以 为首项、以 为公比的等比数列，则Sn= = 1- < . 由于Sn

极速突击 利用关系式中的一般与特殊的关系，巧妙地进行“赋值”，揭开递推关系的“面纱”，进而认清数列的“本原”.

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（1）“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要. 解题要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要合理地运用条件，又要时刻注意题目要求的目标.

（2）已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，但易忽视an=S1 摇（n=1）.

（3）对于等比数列前n项和Sn，当公比是一字母时，必须分公比等于1和不等于1两种情况讨论.

5 数列求和

（ ）必做1 数列{an}的通项an=n2cos2 -sin2 ，其前n项和为Sn，则S30=________.

精妙解法 由于cos2 -sin2 以3为周期的数列，故S30=- +32+- +62+···+- +302= - +（3k）2= 9k- = -25=470.

极速突击 由cos2 -sin2 =cos ，可得T=3，进行分组求和.

（ ）必做2 在数列{an}中，a1=1，an+2+（-1）nan=2，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60=__________.

精妙解法 当n为偶数时，an+2+an=2，所以数列{an}前60项中偶数项的和为（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a58+a60）=15×2=30；当n为奇数时，an+2-an=2，因此数列{an}是以1为首项、公差为2的等差数列，{an}前60项中奇数项的和为30×1+ ×2=900，所以S60=900+30=930.

极速突击 当递推数列中含有（-1）n的式子时，一定要注意对n进行分类讨论.

（ ）必做3 若等差数列{an}满足a21+a2100≤10，则S=a100+a101+…+a199的最大值为（ ）

A. 600 B. 500 C. 800 D. 200

精妙解法 S=a100+a101+…+a199=100a100+ d=100（a1+99d）+ d 圯99d= -a1，a21+

a2100≤10 圯a21+（a1+99d）2≤10 圯a21+

a1+ 2≤10 圯 a21+ a1+ 2-10≤0有解 圯 驻= 2-4× × 2-10≥0 圯S≤500. 选B.

极速突击 将条件与结论之间用基本量来“沟通”，转化为含a1的一元二次方程有解问题来解决.

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数列求和的方法有：

1. 公式法

（1）等差数列{an}的求和公式：Sn= =na1+ d；

（2）等比数列{an}的求和公式：Sn=na1，q=1， ，q≠1（切记：公比含字母时一定要讨论）；

（3） k=1+2+3+…+n= ；

（4） k2=12+22+32+…+n2= ； 摇 摇

（5） k3=13+23+33+…+n3= .

2. 错位相减法

已知等差数列{an}和等比数列{bn}，求数列{anbn}的前n项的和常用此法.

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

当q=1时，Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=b1（a1+a2+…+an）= ；

当q≠1时，因为Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1，

所以（1-q）Sn=a1b1+d（b2+b3+b4+…+bn）-anbn+1，

Sn= + .

3. 裂项相消法

首先往往把数列的通项拆成两项之差，然后前n项求和时，许多项正负相消，剩下首尾若干项.裂项相消法需要一定的技巧，重点和难点都在于对通项的分拆，常见拆项公式有：

（1）an= = = - ；

an= = · = · - ；

an= = · = · - ；

（2）an= = · = · - ；

（3）an= = - ；

（4）an= =1+ · - ；

（5） = - ；

（6）an= · = · = - ；

（7） =tan（n+1）°-tann°.

4. 分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后将“前n项的和”中的“同类项”先合并在一起，分别求和，再将其合并即可，这就是分组求和法.

5. 倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法.如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（即k∈{1，2，3，…，n-1}，恒有ak+1+an-k=a1+an），则可把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种方法称为倒序相加法.

因为Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1，

所以2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an-2+a3）+（an-1+a2）+（an+a1），

所以Sn= .

6 数列单调性与最值项

（ ）必做1 设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，-

精妙解法 因为等差数列{an}的公差d满足-0，即n< ，所以n<1- . 因为- 0；n≥10时，an<0. 所以当n=9时，Sn取最大值.

极速突击 根据等差数列的性质，只要确定“临界项”即可确定其和取最大值的条件，另外，数列是定义在正整数集上的函数，也可以利用其前n项和公式、二次函数性质或者基本不等式求解.

（ ）必做2 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），a1= ，则nan的最小值为__________.

精妙解法 因为an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），所以Sn-Sn-1+3Sn·Sn-1=0.因为a1= ，显然Sn·Sn-1≠0，化简得 - =3，可见 是以3为首项、3为公差的等差数列，所以 =3+3（n-1）=3n，Sn= ，从而nan=n（Sn-Sn-1）= - = 1- （n≥2）. 要使nan最小，则需1- （n≥2）最小，即n=2时最小，此时nan= （1-2）=- （n≥2），当n=1时，nan= ，故对任意的n∈N 鄢，nan的最小值为- .

极速突击 含an与Sn的关系式，利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2来转化. 先求an还是Sn要根据条件来选择.

（ ）必做3 已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为______.

精妙解法 设{an}的公比为q，由2a4+a3-2a2-a1=8，得（2a2+a1）q2-（2a2+a1）=8，所以（2a2+a1）（q2-1）=8，显然q2>1，2a8+a7=（2a2+a1）q6= . 令t=q2，则2a8+a7= . 设函数f（t）= （t>1）， f ′（t）= ，易知当t∈1， 时f（t）为减函数，当t∈ ，+∞时， f（t）为增函数，所以f（t）的最小值为f =54，故2a8+a7的最小值为54.

极速突击 由于2a4+a3，2a2+a1，2a8+a7之间的联系为2a4+a3=（2a2+a1）q2，2a8+a7=（2a2+a1）q6，故将2a2+a1作为一个整体，会使解答变得更方便，通过已知条件可以找到2a2+a1与q2的关系，从而很自然地转化成含q的式子求最值.

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解决一般数列最值问题要抓住一个中心——函数；两个密切联系——一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活处理.尤其通过函数求导求最值与基本不等式求最值的方法经常出现.

精妙解法 因为等差数列{an}的公差d满足-0，即n< ，所以n<1- . 因为- 0；n≥10时，an<0. 所以当n=9时，Sn取最大值.

极速突击 根据等差数列的性质，只要确定“临界项”即可确定其和取最大值的条件，另外，数列是定义在正整数集上的函数，也可以利用其前n项和公式、二次函数性质或者基本不等式求解.

（ ）必做2 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），a1= ，则nan的最小值为__________.

精妙解法 因为an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），所以Sn-Sn-1+3Sn·Sn-1=0.因为a1= ，显然Sn·Sn-1≠0，化简得 - =3，可见 是以3为首项、3为公差的等差数列，所以 =3+3（n-1）=3n，Sn= ，从而nan=n（Sn-Sn-1）= - = 1- （n≥2）. 要使nan最小，则需1- （n≥2）最小，即n=2时最小，此时nan= （1-2）=- （n≥2），当n=1时，nan= ，故对任意的n∈N 鄢，nan的最小值为- .

极速突击 含an与Sn的关系式，利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2来转化. 先求an还是Sn要根据条件来选择.

（ ）必做3 已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为______.

精妙解法 设{an}的公比为q，由2a4+a3-2a2-a1=8，得（2a2+a1）q2-（2a2+a1）=8，所以（2a2+a1）（q2-1）=8，显然q2>1，2a8+a7=（2a2+a1）q6= . 令t=q2，则2a8+a7= . 设函数f（t）= （t>1）， f ′（t）= ，易知当t∈1， 时f（t）为减函数，当t∈ ，+∞时， f（t）为增函数，所以f（t）的最小值为f =54，故2a8+a7的最小值为54.

极速突击 由于2a4+a3，2a2+a1，2a8+a7之间的联系为2a4+a3=（2a2+a1）q2，2a8+a7=（2a2+a1）q6，故将2a2+a1作为一个整体，会使解答变得更方便，通过已知条件可以找到2a2+a1与q2的关系，从而很自然地转化成含q的式子求最值.

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解决一般数列最值问题要抓住一个中心——函数；两个密切联系——一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活处理.尤其通过函数求导求最值与基本不等式求最值的方法经常出现.

精妙解法 因为等差数列{an}的公差d满足-0，即n< ，所以n<1- . 因为- 0；n≥10时，an<0. 所以当n=9时，Sn取最大值.

极速突击 根据等差数列的性质，只要确定“临界项”即可确定其和取最大值的条件，另外，数列是定义在正整数集上的函数，也可以利用其前n项和公式、二次函数性质或者基本不等式求解.

（ ）必做2 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），a1= ，则nan的最小值为__________.

精妙解法 因为an+3Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N 鄢），所以Sn-Sn-1+3Sn·Sn-1=0.因为a1= ，显然Sn·Sn-1≠0，化简得 - =3，可见 是以3为首项、3为公差的等差数列，所以 =3+3（n-1）=3n，Sn= ，从而nan=n（Sn-Sn-1）= - = 1- （n≥2）. 要使nan最小，则需1- （n≥2）最小，即n=2时最小，此时nan= （1-2）=- （n≥2），当n=1时，nan= ，故对任意的n∈N 鄢，nan的最小值为- .

极速突击 含an与Sn的关系式，利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2来转化. 先求an还是Sn要根据条件来选择.

（ ）必做3 已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为______.

精妙解法 设{an}的公比为q，由2a4+a3-2a2-a1=8，得（2a2+a1）q2-（2a2+a1）=8，所以（2a2+a1）（q2-1）=8，显然q2>1，2a8+a7=（2a2+a1）q6= . 令t=q2，则2a8+a7= . 设函数f（t）= （t>1）， f ′（t）= ，易知当t∈1， 时f（t）为减函数，当t∈ ，+∞时， f（t）为增函数，所以f（t）的最小值为f =54，故2a8+a7的最小值为54.

极速突击 由于2a4+a3，2a2+a1，2a8+a7之间的联系为2a4+a3=（2a2+a1）q2，2a8+a7=（2a2+a1）q6，故将2a2+a1作为一个整体，会使解答变得更方便，通过已知条件可以找到2a2+a1与q2的关系，从而很自然地转化成含q的式子求最值.

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解决一般数列最值问题要抓住一个中心——函数；两个密切联系——一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活处理.尤其通过函数求导求最值与基本不等式求最值的方法经常出现.