高考数学必做客观题——新增内容

金石

1 独立性检验问题

（ ）必做1 为了研究男女乘客乘坐飞机时的晕机情况，有关人员在一次飞机航程中采用问卷调查的形式，得到的数据写成如下的2×2列联表，则d=___________.

精妙解法 这是考查2×2列联表的结构问题，先利用10+b=80，得到b=70；再根据20+b+d=110，得到b+d=90，所以d=20.

极速突击 首先理解并掌握2×2列联表的内在结构，然后依照结构所规定的方式按部就班地运算即可，难度不大.

（ ）必做2 为了调查胃病是否与生活规律有关，调查某地540人得结果如下：

则我们可以作出如下判断（ ）

A. 生活不规律的人一定会患胃病

B. 生活不规律的人一定不会患胃病

C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为生活不规律的人易患胃病

D. 有99.9%的把握认为生活不规律的人易患胃病

参考公式及数据：

K2=

精妙解法 这是独立性检验的综合问题，对于A、B选项，是否患胃病与生活是否有规律有关，不是确定关系，所以不正确；对于C、D选项，首先要掌握2×2列联表的内在结构，并利用公式计算出K2的观测值可得k= ≈9.638，因为9.638>7.879，所以犯错误的概率不超过0.005，故C正确；又因为9.638<10.828，所以犯错误的概率超过0.001，故D不正确.

极速突击 对于独立性检验的综合问题，会利用公式计算K2的观测值k，再通过所给表格和数据，判断犯错误的概率，即有多大的把握认为两个分类变量有关.

金刊提醒

首先要充分理解独立性检验的原理. 独立性检验的原理指的是在一个已知假设下，若一个与该假设矛盾的小概率事件发生，则判断这个假设不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率. 在解决具体问题时，通过计算随机变量K2的观测值k，来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”，注意公式K2= 中a，b，c，d，a+c，b+d，a+b，c+d在2×2列联表中的位置，并且在临界值表格中找到满足K2≥k0的临界值k0，那么犯错误的概率不超过k0对应的P（K2≥k0）.

2 回归分析问题

（ ）必做1 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

根据上表可得回归方程 = x+ 中的 = -0.7，则下列结论不正确的是（ ）

A. 月份x与用水量y负相关

B. 该回归直线过样本点的中心（ ， ）

C. 若月份增加一个月，则其用水量大约减少0.7百吨

D. 据此模型预计5月份该厂的月用水量为2百吨

精妙解法 这是回归分析中的常见问题. 因为 <0，所以A正确；回归直线通过样本点的中心（ ， ），这是回归直线的重要性质，B正确；因为 = -0.7，所以C正确；由排除法知选择D.

具体原因是本题中 = =2.5， = =3.5，代入 = x+ 中，且 =-0.7，所以 = - =3.5-（-0.7）×2.5=5.25， =-0.7x+5.25. 当x=5时， = -0.7×5+5.25=1.75，所以5月份该厂的月用水量约为1.75百吨，故选择D.

（ ）必做2 有人收集了春节期间平均气温x（单位：℃）与某取暖商品销售额y（单位：万元）的有关数据如下表：

根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y= x+ 的系数 =-2.4，则预测平均气温为-8℃时该商品的销售额为（ ）

A. 34.6万元 B. 35.6万元

C. 36.6万元 D. 37.6万元

精妙解法 因为 = = -4， = =25，所以回归方程y= x+ 必过点（-4，25），所以 =15.4.所以当x=-8时，y=-2.4×（-8）+15.4=34.6. 选项A正确.

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回归分析中的正负相关，回归直线方程通过样本点的中心（ ， ），以及回归直线方程的求解并加以预测是考查的重点.

3 类比推理

（ ）必做1 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所示标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2. 设想将正方形换成正方体，把截线换成截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是__________.

精妙解法 三角形与四面体分别是平面与空间中用最少几何元素构成的图形，这点它们具有相似性，另外由正方形的一角截得的直角三角形与由正方体的一角截得的空间四面体都具有一个特殊的点，由此点出发的所有边或面互相垂直. 因此可用三角形的边类比四面体的面，可由直角三角形的三边长之间的勾股定理c2=a2+b2，类比得出由正方体的一角截得的空间四面体的四个面的面积之间的数量关系为S +S +S =S .

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类比首先要找到两类对象之间的类似特征，即要说明可比性，然后再确定类比的要素得出结论.由于类比具有或然性，可通过推理证明来说明其结论是否成立，当然对考试来说是不做要求的.

4 归纳推理

（ ）必做1 对于任意的θ角，通过计算sin（θ+π），sinθ+ ·sinθ+ 和sinθ+ sinθ+ ·sinθ+ 的值，可以推测，sinθ+ ·sinθ+ ·…·sinθ+ 的值为__________.

精妙解法 化简所给式子：sin（θ+π）=-sinθ；sinθ+ sinθ+ π=cosθ（-sinθ）=- sin2θ；sinθ+ ·sinθ+ πsinθ+ π= sinθ+ cosθ- sinθ+ cosθ·（-sinθ）= cos2θ- sin2θ（-sinθ）= - （3sinθ-4sin3θ）=- sin3θ，观察发现其变化规律，联想第n个式子结果，因此可猜想：第n个等式的值为- ，即答案为- .endprint

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归纳推理的关键是通过前几项的观察分析找到共同的变化规律，记住一些常用的通项公式、求和公式能够帮助快速联想，归纳结论.

5 判断算法结果

（ ）必做1 若执行图1中的框图，输入N=13，则输出的数等于__________.

精妙解法 这是直到型循环结构，先执行循环体再进行判断，直到满足条件才退出循环. 第1次运算为S= ，k=2；继续第2次运算为S= ，k=3；同样第3次运算为S= ，k=4，满足条件k≥13退出循环. 依前几次的运算规律可得S= .

极速突击 首先理解程序框图和直到型循环结构，然后依照程序所规定的运行方式按部就班地运算并发现其中的运算规律. 这类试题一般会融入简单的数列求和及归纳推理等知识（如本题为数列求和问题），难度不大.

（ ）必做2 阅读图2的程序框图，该程序运行后输出k的值为（ ）

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

精妙解法 这是一个当型循环结构，先进行判断再执行循环体.

第一次运算S=1，k=1，判断不符合条件，继续第二次运算S=1+2，k=2……假设程序运行后输出的值为k，则k为使Sk=1+2+…+2k-1≥100成立的最小值. 故有 ≥100，即2k≥101，解得k≥7. 故选C.

极速突击 对于多次循环问题，若通过一一列举来解决，则常常因计算过繁难以实现，因此要注意观察，寻找规律，转化为求解一些特殊数列的通项、求和等问题，通过推理运算求解.

金刊提醒

在理解两种循环结构，读懂程序框图的基础上，通过枚举来弄清程序所包含的数学意义及运算规律是基本的解题方法；在循环次数较多而不能通过枚举得到答案时，要根据前几次的运算，发现其内在规律，转化为数学推理运算来解决.

6 补充判断条件

（ ）必做1 图1给出的是计算 + + + +…+ 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A. i<50 B. i>50

C. i<25 D. i>25

图1

精妙解法 这是当型循环结构，满足条件执行循环体. 首先要明确该程序为数列求和，其次要弄清所填写的判断条件就是“控制变量的取值范围”，即运算的次数，通过“试运行”来发现判断条件：第1次运算为S= ，n=2，i=2；继续第2次运算为S= + ，n=6，i=3；同样第3次运算为S= + + ，n=8，i=4，以此类推，得到S= + + + +…+ 时，i=51，此时不符合条件，退出循环. 选B.

极速突击 根据循环结构特点，明确程序所含的数学意义及判断条件的作用，通过试运行发现规律，反向代入，由运算的最后结果确定临界值.

金刊提醒

做这类题时，在确定了判断条件后要代入程序验证检验，防止观察失误.

7 复数的四则运算

（ ）必做1 已知 =1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi 等于（ ）

A. 1+2i B. 2+i

C. 2-i D. 1-2i

精妙解法 因为 = = + i，所以 + i =1+bi，

因此 =1且 =b，可得a=2，b=1，所以a+bi =2+i. 故选B.

误点警示 解决复数除数的关键是乘分母的共轭复数将分母化为实数，而在这个过程中一定要注意共轭复数中的正负号，往往由于弄错正负号而使运算出错.

金刊提醒

复数运算及简单的几何意义是高考考查复数知识的重点内容，分母实数化是处理复数除法的常用方法，共轭复数、复数i的性质和复数的模在高考中经常出现.endprint

金刊提醒

归纳推理的关键是通过前几项的观察分析找到共同的变化规律，记住一些常用的通项公式、求和公式能够帮助快速联想，归纳结论.

5 判断算法结果

（ ）必做1 若执行图1中的框图，输入N=13，则输出的数等于__________.

精妙解法 这是直到型循环结构，先执行循环体再进行判断，直到满足条件才退出循环. 第1次运算为S= ，k=2；继续第2次运算为S= ，k=3；同样第3次运算为S= ，k=4，满足条件k≥13退出循环. 依前几次的运算规律可得S= .

极速突击 首先理解程序框图和直到型循环结构，然后依照程序所规定的运行方式按部就班地运算并发现其中的运算规律. 这类试题一般会融入简单的数列求和及归纳推理等知识（如本题为数列求和问题），难度不大.

（ ）必做2 阅读图2的程序框图，该程序运行后输出k的值为（ ）

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

精妙解法 这是一个当型循环结构，先进行判断再执行循环体.

第一次运算S=1，k=1，判断不符合条件，继续第二次运算S=1+2，k=2……假设程序运行后输出的值为k，则k为使Sk=1+2+…+2k-1≥100成立的最小值. 故有 ≥100，即2k≥101，解得k≥7. 故选C.

极速突击 对于多次循环问题，若通过一一列举来解决，则常常因计算过繁难以实现，因此要注意观察，寻找规律，转化为求解一些特殊数列的通项、求和等问题，通过推理运算求解.

金刊提醒

在理解两种循环结构，读懂程序框图的基础上，通过枚举来弄清程序所包含的数学意义及运算规律是基本的解题方法；在循环次数较多而不能通过枚举得到答案时，要根据前几次的运算，发现其内在规律，转化为数学推理运算来解决.

6 补充判断条件

（ ）必做1 图1给出的是计算 + + + +…+ 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A. i<50 B. i>50

C. i<25 D. i>25

图1

精妙解法 这是当型循环结构，满足条件执行循环体. 首先要明确该程序为数列求和，其次要弄清所填写的判断条件就是“控制变量的取值范围”，即运算的次数，通过“试运行”来发现判断条件：第1次运算为S= ，n=2，i=2；继续第2次运算为S= + ，n=6，i=3；同样第3次运算为S= + + ，n=8，i=4，以此类推，得到S= + + + +…+ 时，i=51，此时不符合条件，退出循环. 选B.

极速突击 根据循环结构特点，明确程序所含的数学意义及判断条件的作用，通过试运行发现规律，反向代入，由运算的最后结果确定临界值.

金刊提醒

做这类题时，在确定了判断条件后要代入程序验证检验，防止观察失误.

7 复数的四则运算

（ ）必做1 已知 =1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi 等于（ ）

A. 1+2i B. 2+i

C. 2-i D. 1-2i

精妙解法 因为 = = + i，所以 + i =1+bi，

因此 =1且 =b，可得a=2，b=1，所以a+bi =2+i. 故选B.

误点警示 解决复数除数的关键是乘分母的共轭复数将分母化为实数，而在这个过程中一定要注意共轭复数中的正负号，往往由于弄错正负号而使运算出错.

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复数运算及简单的几何意义是高考考查复数知识的重点内容，分母实数化是处理复数除法的常用方法，共轭复数、复数i的性质和复数的模在高考中经常出现.endprint

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归纳推理的关键是通过前几项的观察分析找到共同的变化规律，记住一些常用的通项公式、求和公式能够帮助快速联想，归纳结论.

5 判断算法结果

（ ）必做1 若执行图1中的框图，输入N=13，则输出的数等于__________.

精妙解法 这是直到型循环结构，先执行循环体再进行判断，直到满足条件才退出循环. 第1次运算为S= ，k=2；继续第2次运算为S= ，k=3；同样第3次运算为S= ，k=4，满足条件k≥13退出循环. 依前几次的运算规律可得S= .

极速突击 首先理解程序框图和直到型循环结构，然后依照程序所规定的运行方式按部就班地运算并发现其中的运算规律. 这类试题一般会融入简单的数列求和及归纳推理等知识（如本题为数列求和问题），难度不大.

（ ）必做2 阅读图2的程序框图，该程序运行后输出k的值为（ ）

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

精妙解法 这是一个当型循环结构，先进行判断再执行循环体.

第一次运算S=1，k=1，判断不符合条件，继续第二次运算S=1+2，k=2……假设程序运行后输出的值为k，则k为使Sk=1+2+…+2k-1≥100成立的最小值. 故有 ≥100，即2k≥101，解得k≥7. 故选C.

极速突击 对于多次循环问题，若通过一一列举来解决，则常常因计算过繁难以实现，因此要注意观察，寻找规律，转化为求解一些特殊数列的通项、求和等问题，通过推理运算求解.

金刊提醒

在理解两种循环结构，读懂程序框图的基础上，通过枚举来弄清程序所包含的数学意义及运算规律是基本的解题方法；在循环次数较多而不能通过枚举得到答案时，要根据前几次的运算，发现其内在规律，转化为数学推理运算来解决.

6 补充判断条件

（ ）必做1 图1给出的是计算 + + + +…+ 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A. i<50 B. i>50

C. i<25 D. i>25

图1

精妙解法 这是当型循环结构，满足条件执行循环体. 首先要明确该程序为数列求和，其次要弄清所填写的判断条件就是“控制变量的取值范围”，即运算的次数，通过“试运行”来发现判断条件：第1次运算为S= ，n=2，i=2；继续第2次运算为S= + ，n=6，i=3；同样第3次运算为S= + + ，n=8，i=4，以此类推，得到S= + + + +…+ 时，i=51，此时不符合条件，退出循环. 选B.

极速突击 根据循环结构特点，明确程序所含的数学意义及判断条件的作用，通过试运行发现规律，反向代入，由运算的最后结果确定临界值.

金刊提醒

做这类题时，在确定了判断条件后要代入程序验证检验，防止观察失误.

7 复数的四则运算

（ ）必做1 已知 =1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi 等于（ ）

A. 1+2i B. 2+i

C. 2-i D. 1-2i

精妙解法 因为 = = + i，所以 + i =1+bi，

因此 =1且 =b，可得a=2，b=1，所以a+bi =2+i. 故选B.

误点警示 解决复数除数的关键是乘分母的共轭复数将分母化为实数，而在这个过程中一定要注意共轭复数中的正负号，往往由于弄错正负号而使运算出错.

金刊提醒

复数运算及简单的几何意义是高考考查复数知识的重点内容，分母实数化是处理复数除法的常用方法，共轭复数、复数i的性质和复数的模在高考中经常出现.endprint